Quay lại đáp án

a)Ta có: $\sin^4x+\cos^4x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 1-2\sin^2x\cos^2x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 2-\sin^22x+m\sin2x=1$$\Leftrightarrow \sin^22x-m\sin2x-1=0$Đặt: $\sin 2x=t,t\in[-1,1]$, suy ra: $t^2-mt-1=0$Ta thấy $t=0$ không là nghiệm của phương trình$\Rightarrow m=\frac{t^2-1}{t}$Xét: $f(t)=\frac{t^2-1}{t}=1-\frac{1}{t}$Ta có: $f'(t)=\frac{1}{t^2}>0$Suy ra $f(t)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-1,0)$ và $(0,1)$.Lập bảng biến thiên ta được: $m\in\mathbb{R}$Vậy $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.

a)Ta có: $\sin^4x+\cos^4x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 1-2\sin^2x\cos^2x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 2-\sin^22x+m\sin2x=1$$\Leftrightarrow \sin^22x-m\sin2x-1=0$Đặt: $\sin 2x=t,t\in[-1,1]$, suy ra: $t^2-mt-1=0$Cách 1:Ta thấy $t=0$ không là nghiệm của phương trình$\Rightarrow m=\frac{t^2-1}{t}$Xét: $f(t)=\frac{t^2-1}{t}=1-\frac{1}{t}$Ta có: $f'(t)=\frac{1}{t^2}>0$Suy ra $f(t)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-1,0)$ và $(0,1)$.Lập bảng biến thiên ta được: $m\in\mathbb{R}$Vậy $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.Cách 2: (không dùng đạo hàm)Ta có: $\Delta=m^2+4>0\Rightarrow$ phương trình có 2 nghiệm $t_1, t_2$.Mà: $t_1t_2=1\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} |t_1|\le1\\|t_2|\le1 \end{array} \right.$, thỏa mãn.Suy ra: $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.