Bài toán tìm điều kiện thỏa phương trình lượng giác.

Question

$\fbox{Bài toán.}$ Tìm

$m$ để các phương trình sau có nghiệm:

$a)\,\sin^4x+\cos^4x+m\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}\\b)\,\dfrac{3}{\sin^2x}+3\tan^2x+m\left(\tan x+\cot x\right)-1=0$

score 3 · Answer 1

b)
Ta có:

$\frac{3}{\sin^2x}+3\tan^2x+m(\tan x+\cot x)-1=0$

$\Leftrightarrow 3(\tan^2x+\cot^2x)+m(\tan x+\cot x)+2=0$
Đặt:

$t=\tan x+\cot x$

$\Rightarrow t^2=\tan^2x+\cot^2x+2\Rightarrow \tan^2x+\cot^2x=t^2-2$
Lại có

$t^2=\tan^2x+\frac{1}{\tan^2x}+2\ge4\Rightarrow |t|\ge2$
Phương trình trở thành:

$3(t^2-2)+mt+2=0\Leftrightarrow 3t^2+mt-4=0$
Cách 1:
Ta có:

$m=\frac{4-3t^2}{t}$
Đặt:

$f(t)=\frac{4-3t^2}{t}=\frac{4}{t}-3t, |t|\ge2$
Ta có:

$f'(t)=-\frac{4}{t^2}-3<0$
Lập bảng biến thiên ta được:

$|m|\ge4$
Vậy:

$|m|\ge4$

Cách 2:
Đặt:

$f(t)=3t^2+mt-4$
Ta có:

$\Delta=m^2+48>0$ suy ra

$f(t)=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$t_1,t_2$ .
*) Nếu

$f(-2)\le0\Leftrightarrow m\ge4$ , phương trình

$f(t)=0$ có nghiệm

$t\le-2$ , thỏa mãn.
*) Nếu

$f(2)\le0\Leftrightarrow m\le-4$ , phương trình

$f(t)=0$ có nghiệm

$t\ge2$ , thỏa mãn.
*) Nếu

$f(2)>0,f(-2)>0\Leftrightarrow -4<m<4$ .
Phương trình

$f(t)=0$ có nghiệm

$|t|\ge2$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{t_1+t_2}{2}\le-2\\ \frac{t_1+t_2}{2}\ge2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \frac{-m}{3}\le-2\\ \frac{-m}{3}\ge2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m\ge6\\ m\le-6 \end{array} \right.$ , loại.
Vậy:

$|m|\ge4$