$cos x + \frac{1}{cosx} + sin x + \frac{1}{sinx} = \frac{10}3$đk: $sinx ≠ 0$ và $cosx ≠ 0 \Rightarrow sin2x ≠ 0 \Rightarrow x ≠ kπ/2 (k ∈ Z)$$pt ⇔ (sinx + cosx) + \frac{sinx + cosx}{sinx.cosx} = \frac{10}3$$⇔ 3(sinx + cosx).sinx.cosx + 3(sinx + cosx) = 10sinx.cosx$$⇔ 3(sinx + cosx)(sinx.cosx + 1 ) = 10sinx.cosx (✽)$đặt $t = sinx + cosx = \sqrt2.sin(x + π/4) \Rightarrow -\sqrt2 ≤ t ≤ \sqrt2 (*)$có: $t² = sin²x + 2sinx.cosx + cos²x \Rightarrow sinx.cosx = \frac{t² - 1}2$Thay vào pt (✽) ta có:$3t(t² + 1) = 10(t² - 1)$$⇔ 3t³ - 10t² + 3t + 10 = 0$$⇔ 3t³ - 6t² - 4t² + 8t - 5t + 10 = 0$$⇔ 3t²(t - 2) - 4t(t - 2) - 5(t - 2) = 0$$⇔ (t - 2)(3t² - 4t - 5) = 0$Đến đây bạn tự giải ra nha
$
\cos x+\
dfrac{1}{
\cos
x}+
\sin x+\
dfrac{1}{
\sin
x}=\
dfrac{10}3$đk: $
\sin
x
\neq 0$ và $
\cos
x
\neq0 \Rightarrow
\sin2x
\neq0 \Rightarrow x
\neq \frac{k
\pi}{2
}\,\,\left(k
\in\mathbb{Z
}\right)$
Pt: $
\Leftright
arrow \left(
\sin
x+
\cos
x
\right)+\
dfrac{
\sin
x+
\cos
x}{
\sin
x
\cos
x} = \
dfrac{10}3$
$
\Leftrightarrow 3(
\sin
x+
\cos
x)
\sin
x
\cos
x+3
\left(
\sin
x+
\cos
x
\right)=10
\sin
x
\cos
x$
$
\Leftrightarrow 3
\left(
\sin
x+
\cos
x
\right)
\left(
\sin
x
\cos
x+1
\right)=10
\sin
x
\cos
x\,\,\left(✽
\right)$đặt $t=
\sin
x+
\cos
x=\sqrt2
\sin
\left(x+
\dfrac{\pi}{4
}\right) \Rightarrow -\sqrt2 ≤ t ≤ \sqrt2
\,\,\left(*
\right)$có: $t
^2=
\sin
^2x+2
\sin
x
\cos
x+
\cos
^2x \Rightarrow
\sin
x
\cos
x=\
dfrac{t
^2 - 1}2$Thay vào pt
$\left(✽
\right)
$ ta có:
$3t
\left(t
^2+1
\right)=10
\left(t
^2-1
\right)$
$
\Leftrightarrow 3t
^3-10t
^2+3t+10=0$
$
\Leftrightarrow 3t
^3-6t
^2-4t
^2+8t-5t+10=0$
$
\Leftrightarrow 3t
^2\left(t - 2
\right)-4t
\left(t - 2
\right) - 5
\left(t - 2
\right) = 0$
$
\Leftrightarrow \left(t - 2
\right)
\left(3t² - 4t - 5
\right) = 0$Đến đây bạn tự giải ra nha