Cách 2: (Vận dụng hàm số)Xét hàm số: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ Ta có:$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x^3}},f"(x)=\frac{3}{4}.\frac{1}{\sqrt{x^5}}>0\forall x>0.$$\rightarrow $ đồ thị h/s $f(x)$ lõm trên $(0;+\infty)$Sử dụng BĐT Jensen ta được: $\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=\sum a.f(a^2+8bc)\geq (a+b+c).f[\frac{\sum a(a^2+8bc)}{a+b+c}]=(a+b+c).f\left(\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}\right)=\frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}{a+b+c}}}=\frac{a+b+c}{\sqrt{(a+b+c)^2}}=1$Đến đây thì ok r!!
Cách 2: (Vận dụng hàm số)Xét hàm số: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ trên khoảng $(0;+∞).$ Ta có:$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x^3}},f"(x)=\frac{3}{4}.\frac{1}{\sqrt{x^5}}>0\forall x>0.$$\rightarrow $ đồ thị h/s $f(x)$ lõm trên $(0;+∞)$Sử dụng BĐT Jensen ta được: $\Sigma \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=\Sigma a.f(a^2+8bc)\geq (a+b+c).f[\frac{\Sigma a(a^2+8bc)}{a+b+c}]=(a+b+c).f(\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c})=\frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}{a+b+c}}}=\frac{a+b+c}{\sqrt{(a+b+c)^2}}=1$Đến đây thì ok r!!
Cách 2: (Vận dụng hàm số)Xét hàm số: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ trên khoảng $(0;
+
\infty)$ Ta có:$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x^3}},f"(x)=\frac{3}{4}.\frac{1}{\sqrt{x^5}}>0\forall x>0.$$\rightarrow $ đồ thị h/s $f(x)$ lõm trên $(0;+
\infty)$Sử dụng BĐT Jensen ta được: $\
sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=\
sum
a.f(a^2+8bc)\geq (a+b+c).f[\frac{\
sum a(a^2+8bc)}{a+b+c}]=(a+b+c).f
\left(\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}
\right)=\frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}{a+b+c}}}=\frac{a+b+c}{\sqrt{(a+b+c)^2}}=1$Đến đây thì ok r!!