ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI D - MÔN TOÁN -2013

Question

Đề thi tuyển sinh đại học năm $2013$
Môn Toán - Khối D

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ($7$ điểm)
Câu $1$ ($2,0$ điểm)
Cho hàm số $y=2x^3-3mx^2+(m-1)x+1 (1)$, với $m$ là tham số thực.
$a)$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $(1)$ khi $m=1$.
$b)$ Tìm $m$ đề đường thẳng $y=-x+1$ cắt đồ thị hàm số $(1)$ tại ba điểm phân biệt.

Câu $2$ ($1,0$ điểm) Giải phương trình $\sin 3x + \cos 2x-\sin x=0$

Câu $3$ ($1,0$ điểm) Giải phương trình $2\log_2x+\log_\frac{1}{2} (1-\sqrt{x} )=\frac{1}{2} log_\sqrt{x} (x-2\sqrt{x} +2)$

Câu $4$ ($1,0$ điểm)
tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}\frac{(x+1)^2}{x^2+1} dx$

Câu $5$ ($1,0$ điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $\widehat{BAD}=120^0 ,M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $\widehat{SMA} =45^0$. Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Câu $6$ ($1,0$ điểm)
Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $xy\leq y-1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x+y}{\sqrt{x^2-xy+3y^2} } -\frac{x-2y}{6(x+y)} $

II. PHẦN RIÊNG ($3,0$ điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn

Câu $7.1$ ($1,0$ điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có điểm $M(-\frac{9}{2}; \frac{3}{2} )$ là trung điểm của cạnh $AB$, điểm $H(-2,4)$ và điểm $I(-1; 1)$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$ và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tìm tọa độ điểm $C$.

Câu $8.a$ ($1,0$ điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(-1,-1;-2), B(0,1;1)$ và mặt phẳng $(P) : x+y+z-1=0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A, B$ và vuông góc với $(P)$.

Câu $9.a$ ($1,0$ điểm)
Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $(1+i)(z-i)+2z=2i$. Tính môđun của số phức $\omega =\frac{\overline{z} -2z+1}{z^2} $

B. theo chương trình nâng cao
Câu $7.b$ ($1,0$ điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C) : (x-1)^2+(y-1)^2=4$ và đường thẳng $\Delta : y-3=0$. Tam giác $MNP$ có trực tâm trùng với tâm của $(C)$, các đỉnh $N$ và $P$ thuộc $\Delta$, đỉnh $M$ và trung điểm của cạnh $MN$ thuộc $(C)$. Tìm tọa độ điểm $P$.

Câu $8.b$ ($1,0$ điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(-1;3;-2)$ và mặt phẳng $(P) : x-2y-2z+5=0$. tính khoảng cách từ A đến $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$

Câu $9.$ ($1,0$ điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{2x^2-3x+3}{x+1} $ trên đoạn $[0; 2]$

Đức Vỹ · Answer 1 · 7/9/2013 3:48:25 PM

Câu $1$
$1) m=1\Rightarrow y=2x^3-3x^2+1 (1)$
+ TXĐ : $D=R$
+ Chiều biến thiên
$y'=6x^2-6x=6x(x-1)$
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x=0 \\x=1 \\ \end{gathered} \right. $
+ Hàm số đồng biến trên $(-\infty;0); (1;+\infty)$, nghịch biến trên $(0,1)$
Bảng Biến Thiên

Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại : $x_{CĐ}=0\rightarrow y_{CĐ}=y(0)=1$
Hàm số đạt cực tiểu tại $x_{CT}=1\rightarrow y_{CT}=y(1)=0$

Giới hạn : $\mathop {\lim y}\limits_{x \to -\infty}=\mathop {\lim x^3}\limits_{x \to -\infty} (2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3} )=-\infty$
$\mathop {\lim y}\limits_{x \to +\infty}=\mathop {\lim x^3}\limits_{x \to +\infty} (2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3} )=+\infty$

Điểm uốn : $y''=12x-6$
$y''=0\Rightarrow x=\frac{1}{2} $
Điểm uốn $U(\frac{1}{2};\frac{1}{2} )$

Đồ Thị

Giao $Ox$
Cho $y=0$
$2x^3-3x^2+1=0$
$\Rightarrow \left[ \begin{gathered}x=-\frac{1}{2}   \\x=1 \\ \end{gathered} \right. $
Nhận xét : Đồ thị nhận điểm uốn $U(\frac{1}{2} ; \frac{1}{2} )$ làm tâm đối xứng

b) Phương trình tương giao
$2x^3-3mx^2+(m-1)x+1=-x+1           (2)$
$\Leftrightarrow 2x^3-3mx^2+mx=0$
$\Leftrightarrow x(2x^2-3mx+m)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x=0 \\ 2x^2-3mx+m=0       (3)\\ \end{gathered} \right. $
Đường thẳng $y=-x+1$ cắt đồ thị $(1)$ tại $3$ điểm phân biệt
$\Leftrightarrow $ Phương trình $(2)$ có $3$ nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow $ Phương trình $(3)$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $0$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta= (3m)^2-4.2m>0\\ 2.)^3-3m.0+m \neq 0 \end{array} \right. $
$\left\{ \begin{array}{l} 9m^2-8m>0\\ m\neq 0 \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{gathered}m<0 \\m>\frac{8}{9}   \\ \end{gathered} \right. \\ m\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}m<0 \\m>\frac{8}{9}   \\ \end{gathered} \right. $
Kết luận : $\left[ \begin{gathered}m<0 \\m>\frac{8}{9}   \\ \end{gathered} \right. $

Câu $2$ :
Giải phương trình
$\sin 3x+\ cos2x-\sin x=0$
$\Leftrightarrow (\sin3x-\sin x)+\ cos 2x=0$
$\Leftrightarrow 2\cos 2x.\sin x+\cos 2x=0$
$\cos 2x(2\sin x+1)=0$
$\left[ \begin{gathered}\cos 2x=0 \\2\sin x+1=0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\cos 2x=0 \\\sin x=\frac{-1}{2} =\sin (\frac{-\pi}{6} ) \\ \end{gathered} \right. $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}2x=\frac{\pi}{2}+k\pi   \\z=\frac{-\pi}{6}+k2\pi \\x=\frac{7\pi}{6} +2k\pi \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \\z=\frac{-\pi}{6}+k2\pi \\x=\frac{7\pi}{6} +2k\pi \\ \end{gathered} \right.$

Câu $3$
$2\log_2x+\log_\frac{1}{2} (1-\sqrt{x} )=\frac{1}{2} log_\sqrt{x} (x-2\sqrt{x} +2)$
Điều kiện $0<x<1$
Phương trình $\Leftrightarrow 2\log_2x+\log_\frac{1}{2} (1-\sqrt{x} )=\log_2(x-2\sqrt{x} +2)$
$\Leftrightarrow \log_2\frac{x^2}{(1-\sqrt{x} )} =\log(x-2\sqrt{x}+2 )$
$\Leftrightarrow \frac{x^2}{(1-\sqrt{x} )} =x-2\sqrt{x} +2$
Đặt $\sqrt{x} =t(t>0)\Rightarrow \frac{t^4}{1-t} =t^2-2t+2$
$\Leftrightarrow t^4=(t^2-2t+2)(1-t)$
$\Leftrightarrow t^4=t^2-t^3-2t+2t^2+2-2t$
$\Leftrightarrow t^4+t^3-3t^2+4t-2=0$
$\left[ \begin{gathered}t=-1-\sqrt{3}   (loai)   \\t=\sqrt{3}-1 (thỏa mãn) \\ \end{gathered} \right. $
$\Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{3}-1 $
$\Leftrightarrow x=(\sqrt{3}-1 )^2=4-2\sqrt{3} $

Câu $4$
$I=\int\limits_{0}^{1} \frac{(x+1)^2}{x^2+1} dx=\int\limits_{0}^{1}

\frac{x^2+2x+1}{x^2+1} dx=\int\limits_{0}^{1}

\frac{x^2+1}{x^2+1}dx+\int\limits_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+1}dx $
$=x \left| \begin{gathered}
1\\
0\\
\end{gathered} \right.+\int\limits_{0}^{1} \frac{d(x^2+1)}{x^2+1} =1+\ln

|x^2+1[\left| \begin{gathered}
1\\
0\\
\end{gathered} \right.=1+\ln 2$

Câu $5$

Tính $V._{S.ABCD}= ?$
Do $\widehat{BAD}=120^0 \Rightarrow \widehat{ABC}=60^0\Rightarrow \Delta ABC $ đều $\Rightarrow AC=a$
$BD^2=AB^2+AD^2-2AB.AD.\cos \widehat{BAD}$
$=a^2+a^2-2a.a.\cos 120^0$
$=2a^2+a^2=3a^2\Rightarrow BD=a\sqrt{3} $
$\Delta ABC$ đều, cạnh $a\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3} }{2} $
$\Delta SAM$ vuông cân tại $A\Rightarrow SA=AM=\frac{a\sqrt{3} }{2} $
$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3} SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3} SA.\frac{1}{2} .AC.BD=\frac{1}{3} .\frac{a\sqrt{3} }{2}.\frac{1}{2} .a.a\sqrt{3} =\frac{a^3}{4} $ (đvtt)
Tính $d(D,(SBC))=?$
Do $AD//BC\Rightarrow AD//(SBC)\Rightarrow d(D,(SBC))=d(A,(SBC))$
Gọi $E$ là trung điểm của $SM$
Ta có : $AE\bot SM     (1)$
$\left\{ \begin{array}{l} AM\bot BC\\ SA\bot BC \end{array} \right. \Rightarrow BC\bot (SAM)\Rightarrow BC\bot AE      (2)$
Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow AE\bot (SBC)$
$\Rightarrow d(A, (SBC))=AE$
$\Delta SAM$ vuông cân tại $A\Rightarrow AE=\frac{SM}{2} $
$SM=\sqrt{SA^2+AM^2} =\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4} } =\sqrt{\frac{3a^2}{2} } =\frac{a\sqrt{6} }{2} $
$d(D, (SBC))=d(A, (SBC))=AE=\frac{SM}{2}=\frac{a\sqrt{6} }{2} $

Câu $6$
$\frac{x}{y} \leq \frac{1}{y} -\frac{1}{y^2} =\frac{1}{4} -\frac{(y-2)^2}{4y^2} \leq \frac{1}{4} $
$P : =\frac{t+1}{\sqrt{t^2-t+3} } -\frac{t-2}{6(t+1)} ; 0<t=\frac{x}{y} \leq \frac{1}{4} $
Theo giả thiết ta có :
$P : =\frac{7-3t}{2(t^2-t+3)^\frac{3}{2} } -\frac{1}{6(t+1)^2} >0, 0<t\leq \frac{1}{4} $
$P\leq (\frac{1}{4} )=\frac{7}{30} +\frac{\sqrt{5} }{3} $

Câu $7.a$

Lập phương trình $M(-\frac{9}{2} ; \frac{3}{2} )$ và vuôn góc $IM$
$\overrightarrow{n_{AB}} //\overrightarrow{IM} =(7;-1)$
$7(x+\frac{9}{2} )-(y-\frac{3}{2} )=0$
$\Leftrightarrow 7x-y+33=0$
$A\in AB\Rightarrow A(t; 7t+33)$
$M$ là trung điểm $AB\Rightarrow B(-9-t; -30-7t)$
$AH\bot BH\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BH} =0$
$\Leftrightarrow (-2-t;-7-29)(7+t;34+7t)=0$
$\Leftrightarrow 50t^2+450t+1000=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}t_1=-5\Rightarrow A (-5;-2)
\\t_2=-4\Rightarrow A(-4;5) \\ \end{gathered} \right. $

Trường hợp $1$
Với $A(-5;-2)$ Phương trình $AC : \left\{ \begin{array}{l} x=-5+3t\\

y=-2+6t \end{array} \right.\Rightarrow C(3t-5; 6t-2) $
$IA=IC\Rightarrow IA^2=IC^2\Leftrightarrow 25=(3t-4)^2+(6t-3)^2$
$\Leftrightarrow 45t^2-60t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}t=0

\\t=\frac{4}{3}   \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[

\begin{gathered}C(-5;-2) (loại) \\C(-1;6) \\ \end{gathered} \right. $

Trường hợp $2 :$
Với $A(-4;-5)\Rightarrow $ Phương trình $AC : \left\{ \begin{array}{l}
x=-4+2t\\ y=5-t \end{array} \right.\Rightarrow C(-4+2t; 5-t) $
$IA=IC\Rightarrow IA^2=IC^2$
$\Rightarrow \left[ \begin{gathered}t=0 \Rightarrow C(-4;5) (loại) \\t=4\Rightarrow C(4;1) \\ \end{gathered} \right. $
Kết luận : Vậy $C(-1;6)$ và $C(4;1)$

Câu $7.b$

Gọi $K$ là trung điểm $MN, I$ là tâm $(C), O$ là giao $MI$ và $\Delta$
Ta có $I(1;1), R=2$
Phương trình đường thẳng $MI$ qua $I(1;1)$ nhận $\overrightarrow{v}= (1;0) $ (là vectơ chỉ phương $\Delta$) làm vecto pháp tuyến có phương trình $x-1=0$
Giao điểm $MI$ và $(C)$ là nghiệm của hệ :
$\left\{ \begin{array}{l} x-1=0\\ (x-1)^2 +(y-1)^2=4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=3 \end{array} \right. \\\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=-1 \end{array} \right. \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow M(1;-1), O (1;3)$ (do $O\in \Delta$)
Giả sử $N(a,3)\in \Delta \Rightarrow K(\frac{a+1}{2};1 )$, do $K\in (C)\Rightarrow (\frac{a+1}{2}-1 )^2+(1-1)^2=4$
$\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{4} =4\Rightarrow \left[ \begin{gathered}a=0 \\a=2 \\ \end{gathered} \right. $

+ Với $a=0\Rightarrow N(0;3)\Rightarrow \overrightarrow{MN} =(-1;4)$
Phương trình đường thẳng $PI$ qua $I(1;1)$ nhận $\overrightarrow{Mn} $ làm vecto pháp tuyến là :
$-1(x-1)+4(y-1)=0\Rightarrow -x+4y-3=0$
Tọa độ $P$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l} -x+4y-3=0\\ y-3=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=9\\ y=3 \end{array} \right. \Rightarrow P(9;3)$

+ Với $a=2\Rightarrow N(2;3)\Rightarrow \overrightarrow{MN} =(1;4)$
Phương trình đường thẳng $PI$ qua $I(1;1)$ nhận $\overrightarrow{MN} $ làm vecto pháp tuyến là :
$1(x-1)+4(y-1)=0\Rightarrow x+4y-5=0$
Tọa độ $P$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{array}{l} x+4y-5=0\\ y-3=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-7\\ y=3 \end{array} \right. \Rightarrow P(-7; 3)$
Vậy $P(9;3)$ hoặc $P(-7;3)$

Câu $8.a$
Đường thẳng $d$ đi qua $A(-1;-1;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$
Véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d} //\overrightarrow{n_p} (1;1;1)$
$\left\{ \begin{array}{l} x=-1+t\\ y=-1+t\\z=-2+t \end{array} \right. , t\in R$
Tọa độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P)$ là giao của $\left\{ \begin{array}{l} d\\ (P) \end{array} \right. $
$-1+t-1+t-2+t-1=0$
Khi và chỉ khi $t=2\Rightarrow u(1;1;0)$
Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A, B$ và vuông góc với $(P)$
$\overrightarrow{n_Q} //[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_p} ]=(1;-2;1)$
$1.(x+1)-2(y+1)+(z+2)=0$
$\Leftrightarrow x-2y+z+1=0$

Câu $8,b$
Khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ là:
$d(A,P)=\frac{-1-2.3-2.(-2)+5}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} } =\frac{2}{3} $
Phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với $(P)$ nhận $\overrightarrow{u} =(1;-2;-2)$ làm vécto pháp tuyến là :
$1.(x+1)-2(y-3)-2(z+2)=0$
$\Leftrightarrow x-2y-2z+3=0$

Câu $9.a$
$(1+i)(z-i)+2z=2i\Leftrightarrow z-i+iz+1+2z=2i$
$\Leftrightarrow (3+i)z=3i-1\Leftrightarrow z=\frac{3i-1}{3+i} =\frac{(3i-1)(3-i)}{(3+i)(3-i)} =i$
$\omega =\frac{\overline{z} -2z+1}{z^2} =\frac{-i-2i+1}{i^2} =-1+3i $
$\Rightarrow $ Mô đun của số phức
$\omega : |\omega|=\sqrt{(-1)^2+3^3} =\sqrt{10} $

Câu $9.b$
$f(x)=\frac{2x^2-3x+3}{x+1} =2x-5+\frac{8}{x+1} $
Xét hàm số $f(x)=2x-5+\frac{8}{x+1} $ trên $[0;2]$
$f'(x)=2-\frac{8}{(x+1)^2} =\frac{2x^2+2x-6}{(x+1)^2} $
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm 1$ do $x\in [0;2]$

Vậy :
$Min_{[0;2]}f(x)=1\Leftrightarrow x=1$
$Max_{[0;2]}f(x)=3\Leftrightarrow x=0$