Có những Bất đẳng thức đơn giản với 1 lời giải thật ngắn gọn nhưng hiệu quả của nó sẽ không dừng lại ở đó nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Chuyên đề này đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này.
Bài toán: Với hai số dương x và y ta có:
$\frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ (1)
Đẳng thức xảy ra khi $x =y$.
Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh phổ biến nhất.
Cách 1. Với hai số dương x và y ta có:
$(x+y)^2\geq0\Rightarrow (x+y)^2\geq4xy \Rightarrow \frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$
Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y.
Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có :
$x + y \ge 2\sqrt {xy} $
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{1}{y}} = \frac{2}{{\sqrt {xy} }}$
Từ đó: $(x + y)$$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \ge 4 \Rightarrow \frac{1}{x + y} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$
Và đẳng thức xảy ra khi x =y.
Cho các số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có
$\frac{1}{{a + b}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b});\frac{1}{{b + c}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{b} + \frac{1}{c});\frac{1}{{c + a}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{c} + \frac{1}{a})$
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có:
$\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ (2)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
* Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:
$\frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{b + 2c + a}} + \frac{1}{{c + 2a + b}} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}})$ (3)
* Kết hợp (2) và (3) ta có
Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương:
$\frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{b + 2c + a}} + \frac{1}{{c + 2a + b}} \le \frac{1}{4}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ (4)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Chú ý: Nếu thêm giả thiết $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 4$ thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005.
Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương:
$\frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{b + 2c + a}} + \frac{1}{{c + 2a + b}} \le \frac{1}{{a + 3b}} + \frac{1}{{b + 3c}} + \frac{1}{{c + 3a}}$ (5)
Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:
$\frac{1}{{a + 3b}} + \frac{1}{{b + 2c + a}} \ge \frac{4}{{(a + 3b) + (b + 2c + a)}} = \frac{2}{{a + 2b + c}}$
$ \frac{1}{{b + 3c}} + \frac{1}{{c + 2a + b}} \ge \frac{4}{{(b + 3c) + (c + 2a + b)}} = \frac{2}{{b + 2c + a}} $
$ \frac{1}{{c + 3a}} + \frac{1}{{a + 2b + c}} \ge \frac{4}{{(c + 3a) + (a + 2b + c)}} = \frac{2}{{c + 2a + b}} $
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5)
Đẳng thức xảy ra khi:$\left\{ \begin{array}{l}
a + 3b = b + 2c + a\\
b + 3c = c + 2a + b\\
c + 3a = a + 2b + c
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c$
Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa
mãn đẳng thức sau:
$ \frac{{\tan\frac{A}{2}}}{{1 + \tan\frac{B}{2}.\tan\frac{C}{2}}} + \frac{{\tan\frac{B}{2}}}{{1 + \tan\frac{C}{2}.\tan\frac{A}{2}}} + \frac{{\tan\frac{C}{2}}}{{1 + \tan\frac{A}{2}.\tan\frac{B}{2}}} = \frac{1}{{4.\tan\frac{A}{2}.\tan\frac{B}{2}.\tan\frac{C}{2}}} $
Giải: Đặt $x = \tan$ $ \frac{A}{2},y = \tan\frac{B}{2},z = \tan\frac{C}{2} $ thế thì x, y, z
dương và xy + yz + zx=1
Hệ thức trở thành:
$ \frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} = \frac{1}{{4xyz}} $
Ta có:
$ \begin{array}{l}
\frac{x}{{1 + yz}} + \frac{y}{{1 + zx}} + \frac{z}{{1 + xy}} = \frac{x}{{(xy + yz) + (zx + yz)}} + \frac{y}{{(xy + zx) + (yz + zx)}} + \frac{z}{{(xy + yz) + (zx + xy)}}\\
\le \frac{1}{4}\left( {\frac{x}{{xy + yz}} + \frac{x}{{zx + yz}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{y}{{xy + zx}} + \frac{y}{{yz + zx}}} \right) + \frac{1}{4}\left( {\frac{z}{{xy + yz}} + \frac{z}{{zx + xy}}} \right) = \\
= \frac{1}{4}\left( {\frac{{x + z}}{{xy + yz}} + \frac{{x + y}}{{zx + yz}} + \frac{{y + z}}{{xy + zx}}} \right) = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{{xy + yz + zx}}{{4xyz}} = \frac{1}{{4xyz}}
\end{array} $
Trên đây là một số bài toán
áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương tự:
Bài 1. Cho a, b,
c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:
$ \begin{array}{l}
1/\frac{1}{{2a + 3(b + c)}} + \frac{1}{{2b + 3(c + a)}} + \frac{1}{{2c + 3(a + b)}} \le \left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right).\frac{1}{4}\\
2/\frac{1}{{a + 2b + 3c}} + \frac{1}{{b + 2c + 3a}} + \frac{1}{{c + 2a + 3b}} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{a + 2c}} + \frac{1}{{b + 2a}} + \frac{1}{{c + 2b}}} \right)
\end{array} $
Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc
= ab + bc + ca thì:
$ \frac{1}{{a + 2b + 3c}} + \frac{1}{{b + 2c + 3a}} + \frac{1}{{c + 2a + 3b}} < \frac{{17}}{{96}} $
Bài 3. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA =
b, AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$ T = \frac{{ab}}{{a + b + 2c}} + \frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} $