|
|
I. Phương trình mũ và lôgarit
Bài toán tổng quát : Giải phương trình
$s^{ax+b}=r\log_s (ux+v) + dx + e (I)$
với $a\ne 0, u \ne 0, 0<s \ne 1$
Phương pháp giải :
Điều kiện để PT có nghĩa : $ux+v > 0$
Đặt ẩn phụ : $ay+b=\log_s (ux+v)$
$\Leftrightarrow s^{ay+b}=ux+v$
Lúc đó PT $(I)$ trở thành
$s^{ax+b}=ary+dx+br+e$
Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn $\begin{cases}u=ar+d \\ v=br+e \end{cases}$, hay là
Với $b=0$ thì $v=e$
Với $b \ne 0$ thì $r=\displaystyle \frac{u-d}{a}=\displaystyle \frac{v-e}{b}$
Lúc đó ta có HPT
$\begin{cases}s^{ay+b}=ux+v \\ s^{ax+b}=ary+(u-ar)x+v \end{cases}$
Trừ theo từng vế và rút gọn ta được
$s^{ax+b}+arx=s^{ay+b}+ary$
Nếu hàm số $f(x)=s^{ax+b}+arx$ đơn điệu trên $\mathbb{R}$ (nghĩa là $s>1$ và $ar>0$ hoặc $0<s<1$ và $ar<0$) thì $x=y$.
Theo cách đặt ẩn phụ ta có :
$s^{ax+b}-ux-v=0$
Khảo sát sự biến thiên của $g(x)=s^{ax+b}-ux-v$ để biết số nghiệm của $g(x)=0$ rồi tìm các nghiệm đó.
Ví dụ $1.$ Giải phương trình
\[7^{x-1}=1+2\log_7 (6x-5)^3 (1)\]
Điều kiện : $x > \displaystyle \frac{5}{6}$
Đặt $y-1=\log_7 (6x-5)\Rightarrow 7^{y-1}=6x-5 (2)$
Lúc đó PT $(1)$ trở thành $7^{x-1}=6y-5 (3)$
Trừ theo từng vế $(2)$ và $(3)$ ta được
$7^{y-1}-7^{x-1}=6x-6y$
$\Leftrightarrow 7^{x-1}+6(x-1)=7^{y-1}+6(y-1) (4)$
Hàm số $f(t)=7^t+6t$ có $f'(t)=7^t\ln 7+6>0$ nên hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $(4)\Leftrightarrow f(x-1)=f(y-1) \Leftrightarrow x=y$.
Từ $(2)$ có $7^{x-1}=6x-5$
$\Leftrightarrow 7^{x-1}-6(x-1)-1=0 (5)$
Hàm số $g(t)=7^t-6t-1$ có $g'(t)=7^t \ln 7 - 6$
và $g'(t)=0\Leftrightarrow t_0=\log_7 6 - \log_7 \ln7$
Từ đây suy ra hàm số nghịch biến trong $\left (-\infty, t_0 \right )$, đồng biến trong $\left ( t_0, + \infty\right )$ nên $g(t)=0$ không có quá hai nghiệm.
Mặt khác dễ thấy $g(0)=g(1)=0$
Suy ra PT $(5)$ có hai nghiệm $x_1=1, x_2=2$
Vậy PT $(1)$ có hai nghiệm $x_1=1, x_2=2$.
Ví dụ $2.$ Giải phương trình
\[\displaystyle \left ( \frac{1}{2} \right )^{2\sin^2 x}+\sin \frac{\pi}{6}=\cos 2x + \log_4 \left ( 4\cos^3 2x - \cos 6x -1 \right )\]
Điều kiện : $4\cos^3 2x - \cos 6x -1>0\Leftrightarrow 3\cos 2x > 1$
PT $\Leftrightarrow 2.2^{-2\sin^2 x}+1=2\cos 2x + 2\log_4 \left ( 4\cos^3 2x - \cos 6x -1 \right )$
$\Leftrightarrow 2^{1-2\sin^2 x}+1=2\cos 2x + \log_2 4 . \log_4 \left ( 3\cos 2x -1 \right )$
$\Leftrightarrow 2^{\cos 2x}+1=2\cos 2x + \log_2 \left ( 3\cos 2x -1 \right )$
Đặt ẩn phụ : $z=\cos 2x$ có PT
$\Leftrightarrow 2^{z}+1=2z + \log_2 \left ( 3z -1 \right ) (*)$
Đặt $y= \log_2 \left ( 3z -1 \right )\Leftrightarrow 2^y=3z-1$ (i)
Lúc đó PT $(*)$ trở thành $2^z=2z+y-1$ (ii)
Trừ theo từng vế (i) cho (ii) rồi làm tương tự như Ví dụ $1.$
II. Phương trình dạng $f(f(x))=x$
Bài toán tổng quát : Giải phương trình $f(f(x))=x (II)$
trong đó $f(x)$ là hàm đồng biến trên tập xác định $D_x \subset \mathbb{R}$
Phương pháp giải :
Đặt ẩn phụ $y=f(x)$ thì $(II)$ trở thành $x=f(y)$ cũng là hàm số đồng biến trên tập xác định $D_y \subset \mathbb{R}$.
Giả sử có điều kiện $D_x=D_y$ thì từ HPT
$\begin{cases}x=f(y) \\ y=f(x) \end{cases}\Rightarrow f(x)+x=f(y)+y$
Vì $f(x)$ và $x$ là các hàm đồng biến nên $g(t)=f(t)+t$ cũng là hàm đồng biến trên $D_t (=D_x=D_y)$.
Do đó $ f(x)+x=f(y)+y \Leftrightarrow g(x)=g(y)\Leftrightarrow x=y$
Từ đó ta thu được PT $f(x)=x$
Khảo sát sự biến thiên $h(x)=f(x)-x$ rồi tìm các nghiệm.
Ví dụ : Giải phương trình
\[\log_2 \left ( 3\log_2 (3x-1) -1 \right )=x (1)\]
Điều kiện : $\begin{cases}3x-1 > 0 \\ 3\log_2 (3x-1) -1>0\end{cases}$
Đặt $y=\log_2 (3x-1) \Leftrightarrow 2^y=3x-1 (2)$
Từ $(1)\Leftrightarrow 2^x=3y-1 (3)$
Từ $(2)$ và $(3)$ ta được hệ :
$\begin{cases}2^x=3y-1 \\2^y=3x-1 \end{cases}\Rightarrow 2^x+3x=2^y+3y$
Đến đây ta có thể làm tiếp như ở Ví dụ $1.$ phần trước.
III. Phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai
Bài toán tổng quát : Giải phương trình
$\sqrt{ax+b}=r(ux+v)^2+dx+e (III)$
với $a \ne 0, u \ne 0, r \ne 0$
Phương pháp giải :
Điều kiện : $ax+b \ge 0$
Đặt ẩn phụ : $uy+v=\sqrt{ax+b}\Leftrightarrow (uy+v)^2=ax+b (1)$
với điều kiện $uy+v \ge 0$ lúc đó $(III)$ trở thành
$r(ux+v)^2=uy-dx+v-e (2)$
Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn $\begin{cases}u=ar+d \\ v=br+e \end{cases}$
Lúc đó HPT $(1), (2)$ trở thành hệ
$\begin{cases} r(uy+v)^2=arx+br (3) \\ r(ux+v)^2=uy+(ar-u)x+br (4) \end{cases}$
Trừ theo từng vế của $(3)$ và $(4)$ được
$ r(uy+v)^2-r(ux+v)^2=ux-uy$
$\Leftrightarrow u(y-x)(ruy+rux+2rv+1)=0 (5)$
Xét hai trường hợp :
a) Với $x=y$. PT $(1)\Leftrightarrow (ux+v)^2=ax+b$. Đây là PT bậc hai ẩn $x$ nên giải được.
b) Với $x \ne y$ thì từ $(5)$ có $uy=-ux-2v- \displaystyle \frac{1}{r}$. Thay vào $(1)$ dẫn đến PT bậc hai ẩn $x$.
Tuy vậy, với mỗi bài toán cụ thể ta có thể đưa ra cách tìm các hệ số $u, v$ dễ dàng hơn như sau.
Ví dụ $1.$ Giải phương trình
\[\sqrt{2x+15}=32x^2+32x-20\]
Điều kiện : $2x+15 \ge 0$
Đặt $ay+b=\sqrt{2x+15}$
$\Leftrightarrow a^2y^2+2aby-2x+b^2-15=0 $
Mặt khác từ phép đặt và PT đã cho
$\Rightarrow 32x^2+32x-ay-(b+20)=0 $
Ta thu được hệ :
$\begin{cases}a^2y^2+2aby-2x+b^2-15=0\\32x^2+32x-ay-(b+20)=0\end{cases} (*)$
Để có được điều kiện như bài toán tổng quát thì $(*)$ là hệ có thể giải được bằng phương pháp trừ vế với vế.
Tức là cần $\frac{a^2}{32}=\frac{2ab-2}{32-a}=\frac{b^2-15}{-(b+20)}$
Ta chọn $a=4, b=2$.
Tóm lại ta có phép đặt : $4y+2=\sqrt{2x+15} (y \ge -\frac{1}{2})$
và $(*)\Leftrightarrow \begin{cases}16y^2+16y-2x-11=0 (1)\\ 16x^2+16x-2y-11=0 \end{cases}$
Trừ theo từng vế và rút gọn ta được
$(x-y)(8x+8y+9)=0$
Xét hai trường hợp :
a) $x=y$ thay vào $(1)$ được :
$16x^2+14x-11=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2} $ do $(x \ge -\frac{15}{2})$
b) $8x+8y+9=0$ thay $y=\displaystyle \frac{-8x-9}{8}$ vào $(1)$ được :
$\Leftrightarrow 64x^2+72x-35=0\Rightarrow x=\displaystyle \frac{-9-\sqrt{221}}{16}$ do $(y \ge -\frac{1}{2})$
Vậy PT có hai nghiệm $x_1=\frac{1}{2}, x_2=\frac{-9-\sqrt{221}}{16}$.
Ví dụ $2.$ Giải phương trình
\[\sqrt{3x+1}=-4x^2+13x-5\]
Điều kiện : $3x+1 \ge 0$
Đặt $ay+b=\sqrt{3x+1}$
$\Leftrightarrow a^2y^2+2aby-3x+b^2-1=0 $
Mặt khác từ phép đặt và PT đã cho
$\Rightarrow -4x^2+13x-ay-(b+5)=0 $
Ta thu được hệ :
$\begin{cases}a^2y^2+2aby-3x+b^2-1=0\\-4x^2+13x-ay-(b+5)=0\end{cases} (*)$
Ta cần có $\frac{a^2}{-4}=\frac{2ab-3}{13-a}=\frac{b^2-1}{-(b+5)}$
Ta chọn $a=-2, b=3$.
Tóm lại ta có phép đặt : $-2y+3=\sqrt{3x+1} (y \le \frac{3}{2})$
và $(*)\Leftrightarrow \begin{cases}4y^2-12y-3x+8=0 (3)\\ 4x^2-13x-2y+8=0 \end{cases}$
Trừ theo từng vế và rút gọn ta được
$(x-y)(2x+2y-5)=0$
Xét hai trường hợp :
a) $x=y$ thay vào $(1)$ được :
$4x^2-15x+8=0\Leftrightarrow x=\frac{15-\sqrt{97}}{8} $ do $(x \ge -\frac{1}{3})$
b) $2x+2y-5=0$ thay $y=\displaystyle \frac{-2x+5}{2}$ vào $(1)$ được :
$\Leftrightarrow -4x^2+11x-3=0\Rightarrow x=\displaystyle \frac{11+\sqrt{73}}{8}$ do $(y \le \frac{3}{2})$
Vậy PT có hai nghiệm $x_1= \displaystyle \frac{15-\sqrt{97}}{8}, x_2=\displaystyle \frac{11+\sqrt{73}}{8}$.
IV. Phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba
Bài toán tổng quát : Giải phương trình
$\sqrt[3]{ax+b}=r(ux+v)^3+dx+e (IV)$
với $a \ne 0, u \ne 0, r \ne 0$
Phương pháp giải :
Đặt ẩn phụ : $uy+v=\sqrt[3]{ax+b}\Leftrightarrow (uy+v)^3=ax+b (1)$
Khi đó $(IV)$ trở thành
$r(ux+v)^3=uy-dx+v-e (2)$
Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn $\begin{cases}u=ar+d \\ v=br+e \end{cases}$
Lúc đó HPT $(1), (2)$ trở thành hệ
$\begin{cases} r(uy+v)^3=arx+br (3) \\ r(ux+v)^3=uy+(ar-u)x+br (4) \end{cases}$
Trừ theo từng vế của $(3)$ và $(4)$ được
$ r(uy+v)^3-r(ux+v)^3=ux-uy$
$\Leftrightarrow ru(y-x)(P^2+PQ+Q^2)+u(y-x)=0$
$\Leftrightarrow u(y-x)(rP^2+rPQ+rQ^2+1)=0$
trong đó $P=uy+v$ và $Q=ux+v$.
Xét hai trường hợp :
a) Với $x=y$. PT $(1)\Leftrightarrow (ux+v)^3=ax+b (5)$
b) Với $rP^2+rPQ+rQ^2+1=0 (6)$
Chú ý rằng $P^2+PQ+Q^2 \ge 0$ nên $(6)$ vô nghiệm khi $r>0$.
Khi $r<0$ phải giải PT $(6)$ tìm $y$ rồi thay vào PT $(1)$ để được PT $(7)$ ẩn $x$ bậc không vượt quá ba.
Giải PT $(5), (7)$ tìm được nghiệm của PT $(IV)$.
Ví dụ : Giải phương trình
\[\sqrt[3]{3x-5}=8x^3-36x^2+53x-25\]
Đặt $ay+b=\sqrt[3]{3x-5}$
$\Leftrightarrow a^3y^3+3a^2by^2+3ab^2y-3x+b^3+5=0 $
Mặt khác từ phép đặt và PT đã cho
$\Rightarrow 8x^3-36x^2+53x-ay-(b+25)=0 $
Ta thu được hệ :
$\begin{cases}a^3y^3+3a^2by^2+3ab^2y-3x+b^3+5=0\\8x^3-36x^2+53x-ay-(b+25)=0\end{cases} (*)$
Để có được điều kiện như bài toán tổng quát thì $(*)$ là hệ có thể giải được bằng phương pháp trừ vế với vế.
Tức là cần $\frac{a^3}{8}=\frac{3a^2b}{-36}=\frac{3ab^2-3}{53-a}=\frac{b^3+5}{-(b+25)}$
Ta chọn $a=2, b=-3$.
Tóm lại ta có phép đặt : $2y-3=\sqrt[3]{3x-5} $
và $(*)\Leftrightarrow \begin{cases}8y^3-36y^2+54y-3x-22=0 (1)\\ 8x^3-36x^2+53x-2y-22=0 \end{cases}$
Trừ theo từng vế và rút gọn ta được
$(x-y)(P^2+PQ+Q^2+1)=0$
trong đó $P=2y-3$ và $Q=2x-3$ (chú ý $r=1>0$).
Nhận thấy rằng $P^2+PQ+Q^2+1>0$ nên $x=y$.
Thay $x=y$ vào $(1)$ được :
$8x^3-36x^2+51x-22=0\Leftrightarrow (x-2)(8x^2-20x+11)=0 $
Vậy PT có ba nghiệm $x_1=2, x_2=\frac{5-\sqrt{3}}{4}, x_3=\frac{5+\sqrt{3}}{4}$.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau
Bài $1.$ $x^2=\sqrt{2-x}+2$
Bài $2.$ $x^2-4x-3=\sqrt{x+5}$
Bài $3.$ $x^3+2=3\sqrt[3]{3x-2}$
Bài $4.$ $\left ( 8 \cos^3 x + 1 \right )^3=162\cos 2x-27$
Bài $5.$ $6^x=1+2x+3\log_6 (5x+1)$
Bài $6.$ $f(f(x))=x$ với
a) $f(x)=\sin x , x\in [-1, 1]$
b) $f(x)=x^2+5x+3 , x\ge 0$
|