CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SỞ TRONG TAM GIÁC


Đây là các đẳng thức và bất đẳng thức quen thuộc rất cần thiết cho việc chứng minh các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác cũng như trong các ứng dụng của chúng. Ta cũng có thể xem đây như là một phần  kiến thức cơ sở cần cho quá trình học toán của chúng ta.

I. CÁC ĐẲNG THỨC CƠ SỞ TRONG TAM GIÁC
•      $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$
•     ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$
       $\begin{array}
  {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B  \\
  {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C  \\
\end{array} $
•     $a = b\cos C + c\cos B$
       $\begin{array}
  b = c\cos A + a\cos C  \\
  c = a\cos B + b\cos A  \\
\end{array} $
•     $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}$
 $\begin{array}
   = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C  \\
   = \frac{{abc}}{{4R}} = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C = pr  \\
   = \left( {p - a} \right){r_a} = \left( {p - b} \right){r_b} = \left( {p - c} \right){r_c}  \\
   = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}   \\
\end{array} $
•     ${m_a}^2 = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}$           
 $\begin{array}
  {m_b}^2 = \frac{{2{c^2} + 2{a^2} - {b^2}}}{4}  \\
  {m_c}^2 = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}  \\
\end{array} $
•    ${l_a}^2 = \frac{{2bc\cos \frac{A}{2}}}{{b + c}}$
  $\begin{array}
  {l_b}^2 = \frac{{2ca\cos \frac{B}{2}}}{{c + a}}  \\
  {l_c}^2 = \frac{{2ab\cos \frac{C}{2}}}{{a + b}}  \\
\end{array} $
•    $r = \left( {p - a} \right)\tan \frac{A}{2} = \left( {p - b} \right)\tan \frac{B}{2} = \left( {p - c} \right)\tan \frac{C}{2} = 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
•    $\frac{{a - b}}{{a + b}} = \frac{{\tan \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)}}{{\tan \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}$
$\frac{{b - c}}{{b + c}} = \frac{{\tan \left( {\frac{{B - C}}{2}} \right)}}{{\tan \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)}}$
$\frac{{c - a}}{{c + a}} = \frac{{\tan \left( {\frac{{C - A}}{2}} \right)}}{{\tan \left( {\frac{{C + A}}{2}} \right)}}$
•    $\cot A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}$
  $\begin{array}
  \cot B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{4S}}  \\
  \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}  \\
\end{array} $
$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}$
•    $\sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{{bc}}} $
$\begin{array}
  \sin \frac{B}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - c} \right)\left( {p - a} \right)}}{{ca}}}   \\
  \sin \frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)}}{{ab}}}   \\
\end{array} $
•    $\cos \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{p\left( {p - a} \right)}}{{bc}}} $
$\begin{array}
  \cos \frac{B}{2} = \sqrt {\frac{{p\left( {p - b} \right)}}{{ca}}}   \\
  \cos \frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{p\left( {p - c} \right)}}{{ab}}}   \\
\end{array} $
•    $\tan \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{{p\left( {p - a} \right)}}} $
  $\begin{array}
  \tan \frac{B}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - c} \right)\left( {p - a} \right)}}{{p\left( {p - b} \right)}}}   \\
  \tan \frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)}}{{p\left( {p - c} \right)}}}   \\
\end{array} $
•    $\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} = \frac{p}{R}$
  $\begin{array}
  \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C  \\
  {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2\left( {1 + \cos A\cos B\cos C} \right)  \\
  \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = 1 + \frac{r}{R}  \\
  {\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = 1 - 2\cos A\cos B\cos C  \\
  \tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C  \\
  \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}  \\
  \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1  \\
  \cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A = 1  \\
\end{array} $

II. CÁC BĐT CƠ SỞ TRONG TAM GIÁC
•    $\begin{array} \left| {a - b} \right| < c < a + b\\

  
  \left| {b - c} \right| < a < b + c  \\
  \left| {c - a} \right| < b < c + a  \\
\end{array} $
•    $a \leqslant b \Leftrightarrow A \leqslant B$
  $\begin{array}
  b \leqslant c \Leftrightarrow B \leqslant C  \\
  c \leqslant a \Leftrightarrow C \leqslant A  \\
\end{array} $
•    $\cos A + \cos B + \cos C \leqslant \frac{3}{2}$
  $\begin{array}
  \sin A + \sin B + \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}  \\
  \tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3   \\
  \cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3   \\
\end{array} $
•    $\cos \frac{A}{2} + \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{C}{2} \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
  $\begin{array}
  \sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} \leqslant \frac{3}{2}  \\
  \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3   \\
  \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} \geqslant 3\sqrt 3   \\
\end{array} $
•    ${\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C \geqslant \frac{3}{4}$
   ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C \leqslant \frac{9}{4}$
        ${\tan ^2}A + {\tan ^2}B + {\tan ^2}C \geqslant 9$
${\cot ^2}A + {\cot ^2}B + {\cot ^2}C \geqslant 1$
•    ${\cos ^2}\frac{A}{2} + {\cos ^2}\frac{B}{2} + {\cos ^2}\frac{C}{2} \leqslant \frac{9}{4}$
   $\begin{array}
  {\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \geqslant \frac{3}{4}  \\
  {\tan ^2}\frac{A}{2} + {\tan ^2}\frac{B}{2} + {\tan ^2}\frac{C}{2} \geqslant 1  \\
  {\cot ^2}\frac{A}{2} + {\cot ^2}\frac{B}{2} + {\cot ^2}\frac{C}{2} \geqslant 9  \\
\end{array} $
•    $\cos A\cos B\cos C \leqslant \frac{1}{8}$
   $\begin{array}
  \sin A\sin B\sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{8}  \\
  \tan A\tan B\tan C \geqslant 3\sqrt 3   \\
  \cot A\cot B\cot C \leqslant \frac{1}{{3\sqrt 3 }}  \\
\end{array} $
•    $\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{8}$
  $\begin{array}
  \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \leqslant \frac{1}{8}  \\
  \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} \leqslant \frac{1}{{3\sqrt 3 }}  \\
  \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} \geqslant 3\sqrt 3   \\
\end{array} $
•    $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C \geqslant  - \frac{3}{2}$
   $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
•    $\frac{1}{{\cos \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\cos \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\cos \frac{C}{2}}} \geqslant 2\sqrt 3 $
$\frac{1}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}} \geqslant 2\sqrt 3 $

III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1.
Cho $\Delta ABC.$ Đường phân giác của các góc A,B,C cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại ${A_1},{B_1},{C_1}$. CMR:  ${S_{ABC}} \leqslant {S_{{A_1}{B_1}{C_1}}}$
Lời giải:
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp thì nó cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
   $2{R^2}\sin A\sin B\sin C \leqslant 2{R^2}\sin {A_1}\sin {B_1}\sin {C_1}$         (1)
Do   ${A_1} = \frac{{B + C}}{2},{B_2} = \frac{{C + A}}{2},{C_1} = \frac{{A + B}}{2}$  nên:
$\begin{array}
  (1) \Leftrightarrow \sin A\sin B\sin C \leqslant \sin \frac{{B + C}}{2}\sin \frac{{C + A}}{2}\sin \frac{{A + B}}{2}  \\
   \Leftrightarrow 8\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2} \leqslant c{\text{os}}\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}(2)  \\
\end{array} $
Vì $c{\text{os}}\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2} > 0$ nên  
(2)  $ \Leftrightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \leqslant \frac{1}{8} \Rightarrow $đpcm.                                                  
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \Delta ABC$  đều.

Bài 2.
CMR trong mọi tam giác ta đều có:
$\sin {\text{A}}\sin B + \sin B\sin C + \sin C\sin A \leqslant \frac{7}{4} + 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
Lời giải:
Ta có :
$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$\sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin C\sin A \leqslant \frac{3}{4} + \cos A + c{\text{os}}B + \cos C(1)$
Mà:
$\begin{array}
  \cos A = \sin B\sin C - \cos B\cos C  \\
  \cos B = \sin C\sin A - \cos C\cos A  \\
  \cos C = \sin B\sin A - \cos A\cos B  \\
\end{array} $
Nên   (1) $ \Leftrightarrow \cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A \leqslant \frac{3}{4}$  (2)
Thật vậy hiển nhiên ta có:
$\cos A\cos b + \cos B\cos C + \cos C\cos A \leqslant \frac{1}{3}{(\cos A + \cos B + \cos C)^2}$   (3)
Mặt khác ta có:   $\cos A + \cos B + \cos C \leqslant \frac{3}{2}$
$ \Rightarrow (3)$ đúng $ \Rightarrow (2)$$ \Rightarrow $ đpcm.
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

Bài 3.
CMR với mọi $\Delta ABC$ bất kì ta có:
         ${a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant 4\sqrt 3 S + {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2}$
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$2(ab + bc + ac) \geqslant 4\sqrt 3 S + {a^2} + {b^2} + {c^2}$   (1)
Ta có:
$\begin{array}
  \cot A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}  \\
  \cot B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{4S}}  \\
  \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}  \\
\end{array} $
Khi đó:   
$\begin{array}
  (1) \Leftrightarrow 4S\left( {\frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}} + \frac{1}{{\sin C}}} \right) \geqslant 4\sqrt 3 S + 4S(\cot A + \cot B + \cot C)  \\
   \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{\sin A}} - \cot A} \right) + \left( {\frac{1}{{\sin B}} - \cot B} \right) + \left( {\frac{1}{{\sin C}} - \cot C} \right) \geqslant \sqrt 3   \\
   \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3   \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. 

Bài 4.
Cho $\Delta ABC$ bất kì. CMR: $R + r \geqslant \sqrt[4]{3}\sqrt S $
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}
  R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{2{R^3}\sin A\sin B\sin C}}{8} = \sqrt {\frac{S}{{2\sin A\sin B\sin C}}}   \\
  r = \frac{S}{p} = \frac{S}{{R(\sin A + \sin B + \sin C)}} = \frac{{\sqrt 8 \sqrt {2\sin A\sin B\sin C} }}{{\sin A + \sin B + \sin C}}  \\
\end{array} $
Vậy:
 $R + r = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{S}{{2\sin AsinB\sin C}}}  + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{S}{{2\sin A\sin B\sin C}}}  + \frac{{\sqrt 8 \sqrt {2\sin A\sin B\sin C} }}{{\sin A + \sin B + \sin C}}$
Theo BĐT Cô-si ta có:
$\frac{{R + r}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\frac{{S\sqrt S \sqrt {\sin A\sin B\sin C} }}{{8\sin A\sin B\sin C(\sin A + \sin B + \sin C)}}}}$
Mà:
$\begin{array}
  \sin A + \sin B + \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}  \\
  \sin A\sin B\sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{8}  \\
   \Rightarrow R + r \geqslant \sqrt[3]{{\frac{{4S\sqrt S }}{{4\sqrt[4]{{27}}.3\sqrt 3 }}}} = \sqrt[4]{3}\sqrt S   \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ đpcm.

Bài 5.
Cho $ \Rightarrow $ bất kì. CMR:
$\frac{{{a^8}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{A}{2}}} + \frac{{{b^8}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{B}{2}}} + \frac{{{c^8}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{C}{2}}} \geqslant {\left( {\frac{{abc\sqrt 6 }}{{3R}}} \right)^4}$
Lời giải:
Áp dụng BCS ta có:
$\frac{{{a^8}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{A}{2}}} + \frac{{{b^8}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{B}{2}}} + \frac{{{c^8}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{C}{2}}} \geqslant \frac{{{{({a^4} + {b^4} + {c^4})}^2}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{A}{2} + c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{B}{2} + c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{C}{2}}}$
Mà:
$\begin{array}
  c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{A}{2} + c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{B}{2} + c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{C}{2} \leqslant \frac{9}{4}  \\
  {\left( {\frac{{abc}}{4}} \right)^4} = {(16{S^2})^2}  \\
\end{array} $
Vì thế ta chỉ cần chứng minh:  ${a^4} + {b^4} + {c^4} \geqslant 16{S^2}$
Trước hết ta có: ${a^4} + {b^4} + {c^4} \geqslant abc(a + b + c)(1)$
Thật vậy:
$\begin{array}
  (1) \Leftrightarrow {a^2}({a^2} - bc) + {b^2}({b^2} - ca) + {c^2}({c^2} - ab) \geqslant 0  \\
   \Leftrightarrow \left[ {{a^2} + {{(b + c)}^2}} \right]{(b - c)^2} + \left[ {{b^2} + {{(c + a)}^2}} \right]{(c - a)^2} + \left[ {{c^2} + {{(a + b)}^2}} \right]{(a - b)^2} \geqslant 0  \\
\end{array} $
(đúng)
Mặt khác ta cũng có:
$16{S^2} = 16p(p - a)(p - b)(p - c) = (a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)(2)$
Từ (1),(2) thì suy ra ta phải chứng minh:
$abc \geqslant (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)(3)$
Đặt :
$\begin{array}
  x = a + b - c  \\
  y = b + c - a  \\
  z = c + a - b  \\
\end{array} $
Vì a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên x , y , z > 0
Khi đó theo BĐT Cô-si thì:
$abc = \frac{{(x + y)(y + z)(z + x)}}{8} \geqslant \frac{{(2\sqrt {xy} )(2\sqrt {yz} )(2\sqrt {xz} )}}{8} \\
            = xyz = (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)$
$ \Rightarrow $ (3) đúng   (đpcm)

Thẻ

× 44
× 216
× 237
× 154

Lượt xem

 39687
Bài 101054
Bài 102281
Bài 101124
Bài 101074
Bài 101050
Chat chit và chém gió
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: ..................... 11/5/2018 1:39:52 PM
  • vinhlyle: hi 11/10/2018 8:03:02 PM
  • ๖ۣۜBossღ: 3:00 AM 11/11/2018 10:17:11 PM
  • quanghungnguyen256: sao wweb cứ đăng nhập mãi nhĩ, k trả lời đc bài viết nữa 11/30/2018 4:35:45 PM
  • quanghungnguyen256: web nát r à 11/30/2018 4:36:19 PM
  • quanghungnguyen256: 11/11/2018 h là 30/11. oi web chắt k ai dùng r hả 11/30/2018 4:36:44 PM
  • quanghungnguyen256: rofum ngon thế mà sao admin lại k nâng cấp nhỡ 11/30/2018 4:37:07 PM
  • nguyenlena2611: talk_to_the_hand 12/24/2018 9:24:22 PM
  • nguyenlena2611: big_grinsurpriseblushing 12/24/2018 9:28:35 PM
  • Việt EL: ^^ 2/16/2019 8:37:21 PM
  • Việt EL: he lô he lô 2/16/2019 8:37:34 PM
  • Việt EL: y sờ e ny guan hiar? 2/16/2019 8:38:15 PM
  • Việt EL: èo 2/16/2019 8:38:32 PM
  • Việt EL: éo có ai 2/16/2019 8:40:48 PM
  • dfgsgsd: Hế lô 2/21/2019 9:52:51 PM
  • dfgsgsd: Lờ ôn lôn huyền ..... 2/21/2019 9:53:01 PM
  • dfgsgsd: Cờ ắc cắc nặng.... 2/21/2019 9:53:08 PM
  • dfgsgsd: Chờ im.... 2/21/2019 9:53:12 PM
  • dfgsgsd: Dờ ai dai sắc ...... 2/21/2019 9:53:23 PM
  • dfgsgsd: ờ ưng nưng sắc.... 2/21/2019 9:53:37 PM
  • dfgsgsd: Mờ inh minh huyền.... đờ ep nặng... trờ ai... quờ a sắc.... đờ i.... 2/21/2019 9:54:11 PM
  • nln: winking 2/28/2019 9:02:14 PM
  • nln: big_grin 2/28/2019 9:02:16 PM
  • nln: smug 2/28/2019 9:02:18 PM
  • nln: talk_to_the_hand 2/28/2019 9:02:20 PM
  • nln: Specialise 2/28/2019 9:51:54 PM
  • nlnl: But they have since become two much-love 2/28/2019 10:03:10 PM
  • dhfh: sad 3/2/2019 9:27:26 PM
  • ๖ۣۜNatsu: allo 3/3/2019 11:39:32 PM
  • ffhfdh: reyeye 3/5/2019 8:53:26 PM
  • ffhfdh: ủuutrr 3/5/2019 8:53:29 PM
  • dgdsgds: ujghjj 3/24/2019 9:12:47 PM
  • ryyty: ghfghgfhfhgfghgfhgffggfhhghfgh 4/9/2019 9:34:48 PM
  • gdfgfd: gfjfjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 4/14/2019 9:53:38 PM
  • gdfgfd: sadsadsadsadsadsad 4/14/2019 9:59:30 PM
  • fdfddgf: trâm anh 4/17/2019 9:40:50 PM
  • gfjggg: a lot of advice is available for college leavers 5/10/2019 9:32:12 PM
  • linhkim2401: big_hug 7/3/2019 9:35:43 AM
  • ddfhfhdff: could you help me do this job 7/23/2019 10:29:49 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to 7/23/2019 10:30:03 PM
  • ddfhfhdff: Why you are in my life, why 7/23/2019 10:30:21 PM
  • ddfhfhdff: Could you help me do this job? I don't know how to get it start 7/23/2019 10:31:45 PM
  • ddfhfhdff: big_grinwhistling 7/23/2019 10:32:50 PM
  • ddfhfhdff: coukd you help me do this job 7/23/2019 10:39:22 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to get it start 7/23/2019 10:39:38 PM
  • huy31012002: hú 9/13/2019 10:43:52 PM
  • huongpha226: hello 11/29/2019 8:22:41 PM
  • hoangthiennhat29: pig 4/2/2020 9:48:11 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:18 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:19 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:20 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:22 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:23 PM
  • cutein111: hello 4/9/2020 9:23:30 PM
  • cutein111: mấy bạn 4/9/2020 9:23:33 PM
  • cutein111: mấy bạn cần người ... k 4/9/2020 9:23:49 PM
  • cutein111: mik sẽ là... của bạn 4/9/2020 9:23:58 PM
  • cutein111: hihi 4/9/2020 9:24:00 PM
  • cutein111: https://www.youtube.com/watch?v=EgBJmlPo8Xw 4/9/2020 9:24:12 PM
  • nhdanfr: Hello 9/17/2020 8:34:26 PM
  • minhthientran594: hi 11/1/2020 10:32:29 AM
  • giocon123fa: hi mọi ngừi :33 1/31/2021 10:31:56 PM
  • giocon123fa: call_me 1/31/2021 10:32:46 PM
  • giocon123fa: không còn ai nữa à? 1/31/2021 10:36:35 PM
  • giocon123fa: toi phải up cái này lên face để mọi người vào chơilaughing) 1/31/2021 10:42:37 PM
  • manhleduc712: hí ae 2/23/2021 8:51:42 AM
  • vaaa: f 3/27/2021 9:40:49 AM
  • vaaa: fuck 3/27/2021 9:40:57 AM
  • L.lawiet: l 6/4/2021 1:26:16 PM
  • tramvin1: . 6/14/2021 8:48:20 PM
  • dothitam04061986: solo ff ko 7/7/2021 2:47:36 PM
  • dothitam04061986: ai muốn xem ngực e ko ạ 7/7/2021 2:49:36 PM
  • dothitam04061986: e nứng 7/7/2021 2:49:52 PM
  • Phương ^.^: ngủ hết rồi ạ? 7/20/2021 10:16:31 PM
  • ducanh170208: hi 8/15/2021 10:23:19 AM
  • ducanh170208: xin chao mọi người 8/15/2021 10:23:39 AM
  • nguyenkieutrinh: hiu lo m.n 9/14/2021 7:30:55 PM
  • nguyenngocha651: Xin chào tất cả các bạn 9/20/2021 3:13:46 PM
  • nguyenngocha651: Có ai onl ko, Ib với mik 9/20/2021 3:14:08 PM
  • nguyenngocha651: Còn ai on ko ạ 9/20/2021 3:21:34 PM
  • nguyenngocha651: ai 12 tủi, sinh k9 Ib Iw mik nhố 9/21/2021 10:22:38 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • dvthuat
  • hoàng anh thọ
  • nhungtt0312
  • Xusint
  • tiendat.tran.79
  • babylove_yourfriend_1996
  • thaonguyenxanh1369
  • hoangthao0794
  • zzzz1410
  • watashitipho
  • HọcTạiNhà
  • Cá Hêu
  • peonycherry
  • phanqk1996
  • giothienxung
  • khoaita567
  • nguyentranthuylinhkt
  • maimatmet
  • minh.mai.td
  • quybalamcam
  • m_internet001
  • bangtuyettrangsocola
  • chizjzj
  • vuivequa052
  • haibanh237
  • sweetmilk1412
  • panhhuu
  • mekebinh
  • Nghịch Thuỷ Hàn
  • Lone star
  • LanguaeofLegend
  • huongduong2603
  • i_love_you_12387
  • a ku
  • heohong_congchua
  • impossitable111
  • khanh
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • huynhhoangphu.10k7
  • namduong2016
  • vycreepers
  • Bảo Phươngg
  • Yurika Yuki
  • tinysweets98
  • Thùy Trang
  • Hàn Thiên Dii
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • LeQuynh
  • thithuan27
  • huhunhh
  • ๖ۣۜDemonღ
  • nguyenxinh6295
  • phuc642003
  • diephuynh2009
  • Lê Giang
  • Han Yoon Min
  • ...
  • thuyvan
  • Mặt Trời Bé
  • DoTri69
  • bac1024578
  • Hạ Vân
  • thuong0122
  • nhakhoahoc43
  • tuanngo.apd
  • Đức Vỹ
  • ๖ۣۜCold
  • Lethu031193
  • salihova.eldara