CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SỞ TRONG TAM GIÁC

Đây là các đẳng thức và bất đẳng thức quen thuộc rất cần thiết cho việc chứng minh các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác cũng như trong các ứng dụng của chúng. Ta cũng có thể xem đây như là một phần  kiến thức cơ sở cần cho quá trình học toán của chúng ta.

I. CÁC ĐẲNG THỨC CƠ SỞ TRONG TAM GIÁC
•      $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$
•     ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$
       $\begin{array}   {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B  \\   {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C  \\ \end{array}$
•     $a = b\cos C + c\cos B$
       $\begin{array}   b = c\cos A + a\cos C  \\   c = a\cos B + b\cos A  \\ \end{array}$
•     $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}$
 $\begin{array}    = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C  \\    = \frac{{abc}}{{4R}} = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C = pr  \\    = \left( {p - a} \right){r_a} = \left( {p - b} \right){r_b} = \left( {p - c} \right){r_c}  \\    = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}   \\ \end{array}$
•     ${m_a}^2 = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}$           
 $\begin{array}   {m_b}^2 = \frac{{2{c^2} + 2{a^2} - {b^2}}}{4}  \\   {m_c}^2 = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}  \\ \end{array}$
•    ${l_a}^2 = \frac{{2bc\cos \frac{A}{2}}}{{b + c}}$
  $\begin{array}   {l_b}^2 = \frac{{2ca\cos \frac{B}{2}}}{{c + a}}  \\   {l_c}^2 = \frac{{2ab\cos \frac{C}{2}}}{{a + b}}  \\ \end{array}$
•    $r = \left( {p - a} \right)\tan \frac{A}{2} = \left( {p - b} \right)\tan \frac{B}{2} = \left( {p - c} \right)\tan \frac{C}{2} = 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
•    $\frac{{a - b}}{{a + b}} = \frac{{\tan \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)}}{{\tan \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}$
$\frac{{b - c}}{{b + c}} = \frac{{\tan \left( {\frac{{B - C}}{2}} \right)}}{{\tan \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)}}$
$\frac{{c - a}}{{c + a}} = \frac{{\tan \left( {\frac{{C - A}}{2}} \right)}}{{\tan \left( {\frac{{C + A}}{2}} \right)}}$
•    $\cot A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}$
  $\begin{array}   \cot B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{4S}}  \\   \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}  \\ \end{array}$
$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}$
•    $\sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{{bc}}}$
$\begin{array}   \sin \frac{B}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - c} \right)\left( {p - a} \right)}}{{ca}}}   \\   \sin \frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)}}{{ab}}}   \\ \end{array}$
•    $\cos \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{p\left( {p - a} \right)}}{{bc}}}$
$\begin{array}   \cos \frac{B}{2} = \sqrt {\frac{{p\left( {p - b} \right)}}{{ca}}}   \\   \cos \frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{p\left( {p - c} \right)}}{{ab}}}   \\ \end{array}$
•    $\tan \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{{p\left( {p - a} \right)}}}$
  $\begin{array}   \tan \frac{B}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - c} \right)\left( {p - a} \right)}}{{p\left( {p - b} \right)}}}   \\   \tan \frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)}}{{p\left( {p - c} \right)}}}   \\ \end{array}$
•    $\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} = \frac{p}{R}$
  $\begin{array}   \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C  \\   {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2\left( {1 + \cos A\cos B\cos C} \right)  \\   \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = 1 + \frac{r}{R}  \\   {\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = 1 - 2\cos A\cos B\cos C  \\   \tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C  \\   \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2}  \\   \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1  \\   \cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A = 1  \\ \end{array}$

II. CÁC BĐT CƠ SỞ TRONG TAM GIÁC
•    $\begin{array} \left| {a - b} \right| < c < a + b\\

  
  \left| {b - c} \right| < a < b + c  \\
  \left| {c - a} \right| < b < c + a  \\
\end{array} $•$a \leqslant b \Leftrightarrow A \leqslant B $$\begin{array}   b \leqslant c \Leftrightarrow B \leqslant C  \\   c \leqslant a \Leftrightarrow C \leqslant A  \\ \end{array}$$ $•$\cos A + \cos B + \cos C \leqslant \frac{3}{2} $$\begin{array}   \sin A + \sin B + \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}  \\   \tan A + \tan B + \tan C \geqslant 3\sqrt 3   \\   \cot A + \cot B + \cot C \geqslant \sqrt 3   \\ \end{array}$$ $•$\cos \frac{A}{2} + \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{C}{2} \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2} $$\begin{array}   \sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} \leqslant \frac{3}{2}  \\   \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3   \\   \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} \geqslant 3\sqrt 3   \\ \end{array}$$ $•${\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C \geqslant \frac{3}{4}{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C \leqslant \frac{9}{4}{\tan ^2}A + {\tan ^2}B + {\tan ^2}C \geqslant 9{\cot ^2}A + {\cot ^2}B + {\cot ^2}C \geqslant 1$•${\cos ^2}\frac{A}{2} + {\cos ^2}\frac{B}{2} + {\cos ^2}\frac{C}{2} \leqslant \frac{9}{4} $$\begin{array}   {\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \geqslant \frac{3}{4}  \\   {\tan ^2}\frac{A}{2} + {\tan ^2}\frac{B}{2} + {\tan ^2}\frac{C}{2} \geqslant 1  \\   {\cot ^2}\frac{A}{2} + {\cot ^2}\frac{B}{2} + {\cot ^2}\frac{C}{2} \geqslant 9  \\ \end{array}$$ $•$\cos A\cos B\cos C \leqslant \frac{1}{8} $$\begin{array}   \sin A\sin B\sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{8}  \\   \tan A\tan B\tan C \geqslant 3\sqrt 3   \\   \cot A\cot B\cot C \leqslant \frac{1}{{3\sqrt 3 }}  \\ \end{array}$$ $•$\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{8} $$\begin{array}   \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \leqslant \frac{1}{8}  \\   \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} \leqslant \frac{1}{{3\sqrt 3 }}  \\   \cot \frac{A}{2}\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} \geqslant 3\sqrt 3   \\ \end{array}$$ $•$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C \geqslant  - \frac{3}{2}\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$•$\frac{1}{{\cos \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\cos \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\cos \frac{C}{2}}} \geqslant 2\sqrt 3 \frac{1}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}} \geqslant 2\sqrt 3 $

III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1.
Cho $\Delta ABC.$ Đường phân giác của các góc A,B,C cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại ${A_1},{B_1},{C_1}$. CMR:  ${S_{ABC}} \leqslant {S_{{A_1}{B_1}{C_1}}}$
Lời giải:
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp thì nó cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
   $2{R^2}\sin A\sin B\sin C \leqslant 2{R^2}\sin {A_1}\sin {B_1}\sin {C_1}$         (1)
Do   ${A_1} = \frac{{B + C}}{2},{B_2} = \frac{{C + A}}{2},{C_1} = \frac{{A + B}}{2}$  nên:
$\begin{array}   (1) \Leftrightarrow \sin A\sin B\sin C \leqslant \sin \frac{{B + C}}{2}\sin \frac{{C + A}}{2}\sin \frac{{A + B}}{2}  \\    \Leftrightarrow 8\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}c{\text{os}}\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2} \leqslant c{\text{os}}\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2}(2)  \\ \end{array}$
Vì $c{\text{os}}\frac{A}{2}c{\text{os}}\frac{B}{2}c{\text{os}}\frac{C}{2} > 0$ nên  
(2)  $\Leftrightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \leqslant \frac{1}{8} \Rightarrow$đpcm.                                                  
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \Delta ABC$  đều.

Bài 2.
CMR trong mọi tam giác ta đều có:
$\sin {\text{A}}\sin B + \sin B\sin C + \sin C\sin A \leqslant \frac{7}{4} + 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
Lời giải:
Ta có :
$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$\sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin C\sin A \leqslant \frac{3}{4} + \cos A + c{\text{os}}B + \cos C(1)$
Mà:
$\begin{array}   \cos A = \sin B\sin C - \cos B\cos C  \\   \cos B = \sin C\sin A - \cos C\cos A  \\   \cos C = \sin B\sin A - \cos A\cos B  \\ \end{array}$
Nên   (1) $\Leftrightarrow \cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A \leqslant \frac{3}{4}$  (2)
Thật vậy hiển nhiên ta có:
$\cos A\cos b + \cos B\cos C + \cos C\cos A \leqslant \frac{1}{3}{(\cos A + \cos B + \cos C)^2}$   (3)
Mặt khác ta có:   $\cos A + \cos B + \cos C \leqslant \frac{3}{2}$
$\Rightarrow (3)$ đúng $\Rightarrow (2)$$\Rightarrow$ đpcm.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

Bài 3.
CMR với mọi $\Delta ABC$ bất kì ta có:
         ${a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant 4\sqrt 3 S + {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2}$
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$2(ab + bc + ac) \geqslant 4\sqrt 3 S + {a^2} + {b^2} + {c^2}$   (1)
Ta có:
$\begin{array}   \cot A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}  \\   \cot B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{4S}}  \\   \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}  \\ \end{array}$
Khi đó:   
$\begin{array}   (1) \Leftrightarrow 4S\left( {\frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}} + \frac{1}{{\sin C}}} \right) \geqslant 4\sqrt 3 S + 4S(\cot A + \cot B + \cot C)  \\    \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{\sin A}} - \cot A} \right) + \left( {\frac{1}{{\sin B}} - \cot B} \right) + \left( {\frac{1}{{\sin C}} - \cot C} \right) \geqslant \sqrt 3   \\    \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3   \\ \end{array}$
$\Rightarrow$ đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. 

Bài 4.
Cho $\Delta ABC$ bất kì. CMR: $R + r \geqslant \sqrt[4]{3}\sqrt S$
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}   R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{2{R^3}\sin A\sin B\sin C}}{8} = \sqrt {\frac{S}{{2\sin A\sin B\sin C}}}   \\   r = \frac{S}{p} = \frac{S}{{R(\sin A + \sin B + \sin C)}} = \frac{{\sqrt 8 \sqrt {2\sin A\sin B\sin C} }}{{\sin A + \sin B + \sin C}}  \\ \end{array}$
Vậy:
 $R + r = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{S}{{2\sin AsinB\sin C}}}  + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{S}{{2\sin A\sin B\sin C}}}  + \frac{{\sqrt 8 \sqrt {2\sin A\sin B\sin C} }}{{\sin A + \sin B + \sin C}}$
Theo BĐT Cô-si ta có:
$\frac{{R + r}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{\frac{{S\sqrt S \sqrt {\sin A\sin B\sin C} }}{{8\sin A\sin B\sin C(\sin A + \sin B + \sin C)}}}}$
Mà:
$\begin{array}   \sin A + \sin B + \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}  \\   \sin A\sin B\sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{8}  \\    \Rightarrow R + r \geqslant \sqrt[3]{{\frac{{4S\sqrt S }}{{4\sqrt[4]{{27}}.3\sqrt 3 }}}} = \sqrt[4]{3}\sqrt S   \\ \end{array}$
$\Rightarrow$ đpcm.

Bài 5.
Cho $\Rightarrow$ bất kì. CMR:
$\frac{{{a^8}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{A}{2}}} + \frac{{{b^8}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{B}{2}}} + \frac{{{c^8}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{C}{2}}} \geqslant {\left( {\frac{{abc\sqrt 6 }}{{3R}}} \right)^4}$
Lời giải:
Áp dụng BCS ta có:
$\frac{{{a^8}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{A}{2}}} + \frac{{{b^8}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{B}{2}}} + \frac{{{c^8}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{C}{2}}} \geqslant \frac{{{{({a^4} + {b^4} + {c^4})}^2}}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{A}{2} + c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{B}{2} + c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{C}{2}}}$
Mà:
$\begin{array}   c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{A}{2} + c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{B}{2} + c{\text{o}}{{\text{s}}^2}\frac{C}{2} \leqslant \frac{9}{4}  \\   {\left( {\frac{{abc}}{4}} \right)^4} = {(16{S^2})^2}  \\ \end{array}$
Vì thế ta chỉ cần chứng minh:  ${a^4} + {b^4} + {c^4} \geqslant 16{S^2}$
Trước hết ta có: ${a^4} + {b^4} + {c^4} \geqslant abc(a + b + c)(1)$
Thật vậy:
$\begin{array}   (1) \Leftrightarrow {a^2}({a^2} - bc) + {b^2}({b^2} - ca) + {c^2}({c^2} - ab) \geqslant 0  \\    \Leftrightarrow \left[ {{a^2} + {{(b + c)}^2}} \right]{(b - c)^2} + \left[ {{b^2} + {{(c + a)}^2}} \right]{(c - a)^2} + \left[ {{c^2} + {{(a + b)}^2}} \right]{(a - b)^2} \geqslant 0  \\ \end{array}$
(đúng)
Mặt khác ta cũng có:
$16{S^2} = 16p(p - a)(p - b)(p - c) = (a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)(2)$
Từ (1),(2) thì suy ra ta phải chứng minh:
$abc \geqslant (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)(3)$
Đặt :
$\begin{array}   x = a + b - c  \\   y = b + c - a  \\   z = c + a - b  \\ \end{array}$
Vì a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên x , y , z > 0
Khi đó theo BĐT Cô-si thì:
$abc = \frac{{(x + y)(y + z)(z + x)}}{8} \geqslant \frac{{(2\sqrt {xy} )(2\sqrt {yz} )(2\sqrt {xz} )}}{8} \\             = xyz = (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)$
$\Rightarrow$ (3) đúng   (đpcm)