CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN


Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loại phương trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. Tuy nhiên trong các đề thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa về dạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương
Sau đây xin giới thiệu với các bạn cách giải các phương trình bậc bốn dạng
${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ trong đó $a,b,c,d$ là các số thực khác không:
1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định
3. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4
4. Phương pháp đồ thị.

CÁC PHƯƠNG PHÁP:
1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể.
Ví dụ 1.
Giải phương trình ${\left( {{x^2} - a} \right)^2} - 6{x^2} + 4x + 2a = 0$   (1)
Giải:
Phương trình (1) được viết thành
        ${x^4} - 2a{x^2} + {a^2} - 6{x^2} + 4x + 2a = 0$
hay ${x^4} - \left( {2a + 6} \right){x^2} + 4x + {a^2} + 2a = 0$    (2)
Phương trình (2) là phương trình bậc bốn đối với x mà bạn không đuợc học cách giải.
Nhưng ta lại có thể viết phương trình (1) dưới dạng
       ${a^2} - 2\left( {{x^2} - 1} \right)a + {x^4} - 6{x^2} + 4x = 0$       (3)
Và xem (3) là phương trình bậc hai đối với a.
Với cách nhìn này, ta tìm được a theo x:
     ${a_{1,2}} = {x^2} - 1 \pm \sqrt {{x^4} - 2{x^2} + 1 - x{}^4 + 6{x^2} - 4x} $
          $\begin{array}
   = {x^2} - 1 \pm \sqrt {4{x^2} - 4x + 1}   \\
   = {x^2} - 1 \pm \left( {2x - 1} \right)  \\
\end{array} $
Giải các phương trình bậc hai đối với x
      ${x^2} + 2x - a - 2 = 0$     (4)
Và ${x^2} - 2x - a = 0$          (5)
Ta tìm đuợc các nghiệm (1) theo a.
Điều kiện để (4) có nghiệm là $3 + a \geqslant 0$ và các nghiệm của (4) là  
                ${x_{1,2}} =  - 1 \pm \sqrt {3 + a} $
Điều kiện để (5) có nghiệm là $1 + a \geqslant 0$ và các nghiệm của (5) là   
                ${x_{3,4}} = 1 \pm \sqrt {1 + a} $

Ví dụ 2.
Giải phương trình ${x^4} - {x^3} - 5{x^2} + 4x + 4 = 0$     (1)
Giải:
Phương trình (1) đuợc viết dưới dạng:
    $\begin{array}
  {x^4} - {x^3} - {x^2} - \left( {4{x^2} - 4x - 4} \right) = 0  \\
  {x^2}\left( {{x^2} - x - 1} \right) - 4\left( {{x^2} - x - 1} \right) = 0  \\
  \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - x - 1} \right) = 0  \\
\end{array} $
Vậy (1) có 4 nghiệm là
   ${x_1} =  - 2;{x_2} = 2;{x_3} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};{x_4} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.$

Ví dụ 3.
Giải phương trình
     $32{x^4} - 48{x^3} - 10{x^2} + 21x + 5 = 0$    (1)
Giải:
Ta viết (1) dưới dạng:
      $2\left( {16{x^4} - 24{x^3} + 9{x^2}} \right) - 7\left( {4{x^2} - 3x} \right) + 5 = 0$
Và đặt: $y = 4{x^2} - 3x$ thì (1) được biến đổi thành
      $2{y^2} - 7y + 5 = 0$
    Từ đó ${y_1} = 1$ và ${y_2} = \frac{5}{2}$
Giải tiếp các phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi thay${y_1} = 1$ và ${y_2} = \frac{5}{2}$ vào $y = 4{x^2} - 3x$ ):
      $4{x^2} - 3x - 1 = 0$
Và $8{x^2} - 6x - 5 = 0$
Ta sẽ đuợc các nghiệm của (1).

Ví dụ 4.
 Giải phương trình
    $2{x^4} + 3{x^3} - 16{x^2} + 3x + 2 = 0$    (1)
Giải:
 Đây là phương trình bậc bốn (và là phương trình hồi quy khi $\frac{e}{a} = {\left( {\frac{d}{b}} \right)^2}$)
Với phương trình này ta giải như sau:
Chia hai vế của phương trình  cho ${x^2}$ (khác không) thì (1) tương đuơng với
      $2{x^2} + 3x - 16 + \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} = 0$
Hay $2\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 16 = 0$
Đặt $y = x + \frac{1}{x}$ thì${y^2} - 2 = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$
Phương trình (1) đuợc biến đổi thành:
        $2\left( {{y^2} - 2} \right) + 3y - 16 = 0$
hay $2{y^2} + 3y - 20 = 0$
Phương trình này có nghiệm là ${y_1} =  - 4,{y_2} = \frac{5}{2}$
Vì vậy $x + \frac{1}{x} =  - 4$ và $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ tức là ${x^2} + 4x + 1 = 0$ và $2{x^2} - 5x + 2 = 0$
Từ đó ta tìm đuợc các nghiệm của (1) là:
${x_{1,2}} =  - 2 \pm \sqrt 3 ,{x_3} = \frac{1}{2},{x_4} = 2$.
Như vậy, với các ví dụ 2,3 và 4 ta giải đuợc phương trình bậc bốn nhờ biết biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình để dẫn tới việc giải các phương trình và phương trình quen thuộc.

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 5.
Giải phương trình:  ${x^4} + 4{x^3} - 10{x^2} + 37x - 14 = 0$   (1)
Giải:
Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai ${x^2} + px + q$ và ${x^2} + rx + s$ , trong đó $p,q,r,s$ là các hệ số nguyên chưa xác định.
Ta có:
${x^4} + 4{x^3} - 10{x^2} + 37x - 14 = \left( {{x^2} + px + q} \right)\left( {{x^2} + rx + s} \right)$   (2)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai vế  của đồng nhất thức ta có hệ phương trình sau
             $\left\{ \begin{array}
  p + r =  - 4  \\
  s + q + pr =  - 10  \\
  ps + qr = 37  \\
  qs =  - 14  \\
\end{array}  \right.$
Nhờ phương trình cuối cùng của hệ này ta đoán nhận các giá trị nguyên tương ứng có thể lấy đuợc của q và s.
Thử lần lượt các giá trị của q thì thấy với $q = 2,s =  - 7$ phương trình thứ hai và thứ ba của hệ trên cho ta hệ phương trình mới
           $\left\{ \begin{array}
  pr =  - 5  \\
   - 7p + 2r = 37  \\
\end{array}  \right.$
Mà khử $p$đi thì đuợc $2{r^2} - 37r + 35 = 0$
Phương trình này cho nghiệm nguyên của $r$ là 1. Nhờ thế ta suy ra $p =  - 5$
Thay các giá trị $p,q,r,s$ vừa tìm được vào (2) thì có:
       ${x^4} + 4{x^3} - 10{x^2} + 37x - 14 = \left( {{x^2} - 5x + 2} \right)\left( {{x^2} + x - 7} \right)$
Phương trình (1) ứng với $\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)\left( {{x^2} + x - 7} \right) = 0$
Giải phương trình tích này ta đuợc các nghiệm sau của (1):
     $x = \frac{{5 \pm \sqrt {17} }}{2};x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {29} }}{2}$   
 Lưu ý:

Trong một số truờng hợp ta không thể dùng phương pháp này vì nhiều khi việc phân tích trên không được như mong muốn chẳng hạn khi hệ trên không có nghiệm nguyên.   

3. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4
Dụng ý của ta là phân tích đa thức ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ thành hai nhân tử bậc hai
    Dùng ẩn phụ h, ta biến đổi như sau:
     $f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}h} \right)^2} + b{x^2} + cx + d - \frac{1}{4}{a^2}{x^2} - \frac{1}{4}{h^2} - h{x^2} - \frac{1}{2}ahx$
    $f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}h} \right)^2} - \left[ {\left( {h + \frac{1}{4}{a^2} - b} \right){x^2} + \left( {\frac{1}{2}ah - c} \right)x + \left( {\frac{1}{4}{h^2} - d} \right)} \right]$   (2)
Tam thức trong dấu móc vuông có dạng: $A{x^2} + Bx + C$
 $A{x^2} + Bx + C$có thể viết dưới dạng: $A{x^2} + Bx + C = {\left( {Px + q} \right)^2}$   (3)
Khi và chỉ khi ${B^2} - 4AC = 0$ hay $4AC - {B^2} = 0$
Ta có: $4\left( {h + \frac{1}{4}{a^2} - b} \right)\left( {\frac{1}{4}{h^2} - d} \right) - {\left( {\frac{1}{2}ah - c} \right)^2} = 0$
Đây là phương trình bậc ba đối với $h$ nến phải có ít nhất một nghiệm thực.
Giả sử nghiệm đó là $h = 1$.
(Ta có thể dùng công thức biểu diễn nghiệm phương trình bậc ba của Cacđanô (nhà toán học người Italia) ${x^3} + p{x^2} + q = 0$ (*) qua các hệ số của nó. Mọi phương trình bậc ba tổng quát: ${a_0}{y^3} + {a_1}{y^2} + {a_2}y + {a_3} = 0,{a_0} \ne 0$đều có thể đưa về dạng (*) nhờ phép biến đổi ẩn số $y = x - \frac{{{a_1}}}{{3{a_0}}}$.
Công thức được viết như sau: $x = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {\frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}} }}$ trong đó mỗi căn thức bậc ba ở vế sau có ba giá trị, nhưng phải chọn các cặp giá trị có tích bằng $ - \frac{p}{3}$để cộng với nhau)
Thế thì (2) đuợc viết dưới dạng: $f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}t} \right)^2} - {\left( {px + q} \right)^2}$   (4)
Vậy:
$f\left( x \right) = \left( {{x^2} + \frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}t + px + q} \right)\left( {{x^2} + \frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}t - px + q} \right) = 0$
Từ đó: ${x^2} + \left( {\frac{1}{2}a + p} \right)x + \frac{1}{2}t + q = 0$
hoặc ${x^2} + \left( {\frac{1}{2}a - p} \right)x + \frac{1}{2}t - q = 0$
Giải hai phương trình bậc hai này ta đuợc tập hợp nghiệm của (1):
${x_{1,2}} =  - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}a + p} \right) \pm \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}a + p} \right)}^2} - 4q - 2t} $
Và ${x_{3,4}} =  - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}a - p} \right) \pm \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}a - p} \right)}^2} + 4q - 2t} $   

Ví dụ 6.
Giải phương trình: ${x^4} - {x^3} - 7{x^2} + x + 6 = 0$
Giải:
Dựa vào công thức (3) ta xác định đuợc $h$:
      $4\left( {h + \frac{{29}}{4}} \right)\left( {\frac{1}{4}{h^2} - 6} \right) - {\left( { - \frac{1}{2}h - 1} \right)^2} = 0$
tức ${h^3} + 7{h^2} - 25h - 175 = 0$
Ta tìm đuợc một nghiệm thực $h$ của phương trình này là $h = 5$
Dựa vào (3) và với $h = t = 5,a =  - 1,,b =  - 7,c = 1,d = 6$ thì tính đuợc $p = \frac{7}{2},q = \frac{{ - 1}}{2}$
Phương trình đã cho sẽ đuợc diễn đạt theo (4) là:
$\begin{array}
  {\left( {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{7}{2}x - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0  \\
   \Leftrightarrow \left( {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} + \frac{7}{2}x - \frac{1}{2}} \right)\left( {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} - \frac{7}{2}x + \frac{1}{2}} \right) = 0  \\
\end{array} $
Thì đựơc tập nghiệm của phương trình đã cho là: $\left\{ { - 1; - 2;3;1} \right\}$

4. Phương pháp đồ thị.
Phương pháp:

Để giải phương trình bậc bốn
                  ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$       (1)
bằng đồ thị, ta hãy đặt ${x^2} = y - mx$
Phương trình (1) trở thành: ${y^2} - 2mxy + {m^2}{x^2} + axy - ax{m^2} + b{x^2} + cx + d = 0$
Để khử đuợc các số hạng có $xy$ trong phương trình này thì phải có:
$ - 2m + a = 0$ và $m = \frac{a}{2}$
Vậy nếu đặt
${x^2} = y - mx$ và $m = \frac{a}{2}$ tức ${x^2} = y - \frac{a}{2}x$
Thì (1) trở thành: ${y^2} + \frac{{{a^2}}}{4}{x^2} - \frac{{{a^2}}}{2}{x^2} + b{x^2} + cx + d = 0$    (2)
Thay ${x^2}$ bởi $y - \frac{a}{2}x$ và biến đổi thì (2) trở thành   
              ${x^2} + {y^2} + \left( {\frac{a}{2} + \frac{{{a^3}}}{8} - \frac{{ab}}{2} + c} \right)x + \left( {b - \frac{{{a^2}}}{4} - 1} \right)y + d = 0$
Vậy phương trình (1) tương đuơng với hệ phương trình
     $\left\{ \begin{array}
  y = {x^4} + \frac{a}{2}x,(3)  \\
  {x^2} + {y^2} + \left( {\frac{a}{2} + \frac{{{a^3}}}{8} - \frac{{ab}}{2} + c} \right)x + \left( {b - \frac{{{a^2}}}{4} - 1} \right)y + d = 0,(4)  \\
\end{array}  \right.$             
Do đó hoành độ các giao điểm của parabol, đồ thị (3) và của đuờng tròn, đồ thị của (4), là nghiệm của phương trình (1) đã cho
Nếu ta đặt $my = {x^2} + \frac{a}{2}x(m \ne 0)$ thì khi ấy nghiệm của phương trình (1) lại là hoành độ các giao điểm của hai parabol
                  $y = \frac{1}{m}{x^2} + \frac{a}{{2m}}x$
Và $x = \frac{{{m^2}{y^2}}}{{\frac{{ab}}{2} - \frac{{{a^3}}}{8} - c}} + \frac{{m\left( {b - \frac{{{a^2}}}{4}} \right)y}}{{\frac{{ab}}{2} - \frac{{{a^3}}}{3} - c}} + d$

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bây giờ, ta hãy vận dụng các phương pháp trên để giải các phương trình bậc bốn sau:
$\begin{array}
  1){x^4} + 4{x^3} + 3{x^2} + 2x - 1 = 0,  \\
  2){x^4} + 2{x^3} + 5{x^2} + 4x - 12 = 0,  \\
  3)6{x^4} + 5{x^3} - 38{x^2} + 5x + 6 = 0,  \\
  4){x^4} + 5{x^3} - 12{x^2} + 5x + 1 = 0,  \\
  5){x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 6x - 15 = 0.  \\
\end{array} $
lgjgjjjjjjjjjjjjj2x8−9x7 20x6−33x5 46x4−66x3 80x2−72x 32=02x8−9x7 20x6−33x5 46x4−66x3 80x2−72x 32=02x8−9x7 20x6−33x5 46x4−66x3 80x2−72x 32=02x8−9x7 20x6−33x5 46x4−66x3 80x2−72x 32=02x8−9x7 20x6−33x5 46x4−66x3 80x2−72x 32=0 –  hung44541 13-04-16 08:58 PM
jkghjogililgl –  hung44541 13-04-16 08:58 PM

Thẻ

× 27
× 55
× 2

Lượt xem

 122157
Bài 102484
Bài 102481
Bài 101830
Bài 100980
Bài 100857
Chat chit và chém gió
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: ..................... 11/5/2018 1:39:52 PM
  • vinhlyle: hi 11/10/2018 8:03:02 PM
  • ๖ۣۜBossღ: 3:00 AM 11/11/2018 10:17:11 PM
  • quanghungnguyen256: sao wweb cứ đăng nhập mãi nhĩ, k trả lời đc bài viết nữa 11/30/2018 4:35:45 PM
  • quanghungnguyen256: web nát r à 11/30/2018 4:36:19 PM
  • quanghungnguyen256: 11/11/2018 h là 30/11. oi web chắt k ai dùng r hả 11/30/2018 4:36:44 PM
  • quanghungnguyen256: rofum ngon thế mà sao admin lại k nâng cấp nhỡ 11/30/2018 4:37:07 PM
  • nguyenlena2611: talk_to_the_hand 12/24/2018 9:24:22 PM
  • nguyenlena2611: big_grinsurpriseblushing 12/24/2018 9:28:35 PM
  • Việt EL: ^^ 2/16/2019 8:37:21 PM
  • Việt EL: he lô he lô 2/16/2019 8:37:34 PM
  • Việt EL: y sờ e ny guan hiar? 2/16/2019 8:38:15 PM
  • Việt EL: èo 2/16/2019 8:38:32 PM
  • Việt EL: éo có ai 2/16/2019 8:40:48 PM
  • dfgsgsd: Hế lô 2/21/2019 9:52:51 PM
  • dfgsgsd: Lờ ôn lôn huyền ..... 2/21/2019 9:53:01 PM
  • dfgsgsd: Cờ ắc cắc nặng.... 2/21/2019 9:53:08 PM
  • dfgsgsd: Chờ im.... 2/21/2019 9:53:12 PM
  • dfgsgsd: Dờ ai dai sắc ...... 2/21/2019 9:53:23 PM
  • dfgsgsd: ờ ưng nưng sắc.... 2/21/2019 9:53:37 PM
  • dfgsgsd: Mờ inh minh huyền.... đờ ep nặng... trờ ai... quờ a sắc.... đờ i.... 2/21/2019 9:54:11 PM
  • nln: winking 2/28/2019 9:02:14 PM
  • nln: big_grin 2/28/2019 9:02:16 PM
  • nln: smug 2/28/2019 9:02:18 PM
  • nln: talk_to_the_hand 2/28/2019 9:02:20 PM
  • nln: Specialise 2/28/2019 9:51:54 PM
  • nlnl: But they have since become two much-love 2/28/2019 10:03:10 PM
  • dhfh: sad 3/2/2019 9:27:26 PM
  • ๖ۣۜNatsu: allo 3/3/2019 11:39:32 PM
  • ffhfdh: reyeye 3/5/2019 8:53:26 PM
  • ffhfdh: ủuutrr 3/5/2019 8:53:29 PM
  • dgdsgds: ujghjj 3/24/2019 9:12:47 PM
  • ryyty: ghfghgfhfhgfghgfhgffggfhhghfgh 4/9/2019 9:34:48 PM
  • gdfgfd: gfjfjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 4/14/2019 9:53:38 PM
  • gdfgfd: sadsadsadsadsadsad 4/14/2019 9:59:30 PM
  • fdfddgf: trâm anh 4/17/2019 9:40:50 PM
  • gfjggg: a lot of advice is available for college leavers 5/10/2019 9:32:12 PM
  • linhkim2401: big_hug 7/3/2019 9:35:43 AM
  • ddfhfhdff: could you help me do this job 7/23/2019 10:29:49 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to 7/23/2019 10:30:03 PM
  • ddfhfhdff: Why you are in my life, why 7/23/2019 10:30:21 PM
  • ddfhfhdff: Could you help me do this job? I don't know how to get it start 7/23/2019 10:31:45 PM
  • ddfhfhdff: big_grinwhistling 7/23/2019 10:32:50 PM
  • ddfhfhdff: coukd you help me do this job 7/23/2019 10:39:22 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to get it start 7/23/2019 10:39:38 PM
  • huy31012002: hú 9/13/2019 10:43:52 PM
  • huongpha226: hello 11/29/2019 8:22:41 PM
  • hoangthiennhat29: pig 4/2/2020 9:48:11 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:18 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:19 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:20 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:22 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:23 PM
  • cutein111: hello 4/9/2020 9:23:30 PM
  • cutein111: mấy bạn 4/9/2020 9:23:33 PM
  • cutein111: mấy bạn cần người ... k 4/9/2020 9:23:49 PM
  • cutein111: mik sẽ là... của bạn 4/9/2020 9:23:58 PM
  • cutein111: hihi 4/9/2020 9:24:00 PM
  • cutein111: https://www.youtube.com/watch?v=EgBJmlPo8Xw 4/9/2020 9:24:12 PM
  • nhdanfr: Hello 9/17/2020 8:34:26 PM
  • minhthientran594: hi 11/1/2020 10:32:29 AM
  • giocon123fa: hi mọi ngừi :33 1/31/2021 10:31:56 PM
  • giocon123fa: call_me 1/31/2021 10:32:46 PM
  • giocon123fa: không còn ai nữa à? 1/31/2021 10:36:35 PM
  • giocon123fa: toi phải up cái này lên face để mọi người vào chơilaughing) 1/31/2021 10:42:37 PM
  • manhleduc712: hí ae 2/23/2021 8:51:42 AM
  • vaaa: f 3/27/2021 9:40:49 AM
  • vaaa: fuck 3/27/2021 9:40:57 AM
  • L.lawiet: l 6/4/2021 1:26:16 PM
  • tramvin1: . 6/14/2021 8:48:20 PM
  • dothitam04061986: solo ff ko 7/7/2021 2:47:36 PM
  • dothitam04061986: ai muốn xem ngực e ko ạ 7/7/2021 2:49:36 PM
  • dothitam04061986: e nứng 7/7/2021 2:49:52 PM
  • Phương ^.^: ngủ hết rồi ạ? 7/20/2021 10:16:31 PM
  • ducanh170208: hi 8/15/2021 10:23:19 AM
  • ducanh170208: xin chao mọi người 8/15/2021 10:23:39 AM
  • nguyenkieutrinh: hiu lo m.n 9/14/2021 7:30:55 PM
  • nguyenngocha651: Xin chào tất cả các bạn 9/20/2021 3:13:46 PM
  • nguyenngocha651: Có ai onl ko, Ib với mik 9/20/2021 3:14:08 PM
  • nguyenngocha651: Còn ai on ko ạ 9/20/2021 3:21:34 PM
  • nguyenngocha651: ai 12 tủi, sinh k9 Ib Iw mik nhố 9/21/2021 10:22:38 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • dvthuat
  • hoàng anh thọ
  • nhungtt0312
  • Xusint
  • tiendat.tran.79
  • babylove_yourfriend_1996
  • thaonguyenxanh1369
  • hoangthao0794
  • zzzz1410
  • watashitipho
  • HọcTạiNhà
  • Cá Hêu
  • peonycherry
  • phanqk1996
  • giothienxung
  • khoaita567
  • nguyentranthuylinhkt
  • maimatmet
  • minh.mai.td
  • quybalamcam
  • m_internet001
  • bangtuyettrangsocola
  • chizjzj
  • vuivequa052
  • haibanh237
  • sweetmilk1412
  • panhhuu
  • mekebinh
  • Nghịch Thuỷ Hàn
  • Lone star
  • LanguaeofLegend
  • huongduong2603
  • i_love_you_12387
  • a ku
  • heohong_congchua
  • impossitable111
  • khanh
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • huynhhoangphu.10k7
  • namduong2016
  • vycreepers
  • Bảo Phươngg
  • Yurika Yuki
  • tinysweets98
  • Thùy Trang
  • Hàn Thiên Dii
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • LeQuynh
  • thithuan27
  • huhunhh
  • ๖ۣۜDemonღ
  • nguyenxinh6295
  • phuc642003
  • diephuynh2009
  • Lê Giang
  • Han Yoon Min
  • ...
  • thuyvan
  • Mặt Trời Bé
  • DoTri69
  • bac1024578
  • Hạ Vân
  • thuong0122
  • nhakhoahoc43
  • tuanngo.apd
  • Đức Vỹ
  • ๖ۣۜCold
  • Lethu031193
  • salihova.eldara