MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN

1. Các phương pháp chung:
Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn vẫn là biến đổi hệ phương trình đã cho thành những hệ tương đương hoặc những hệ phương trình hệ quả dễ giải hơn, (trong đó có những phương trình với số ẩn ngày càng ít). Để đạt được điều này ta thường dùng:
-   Phương pháp cộng đại số
-   Phương pháp thế
Nếu có dùng phép biến đổi không tương đương thì cần phải thử lại các giá trị tìm được của ẩn.

Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình :
$(I)\left\{ \begin{array}
  x + y = 3z  \\
  {x^2} + {y^2} = 5z  \\
  {x^3} + {y^3} = 9z  \\
\end{array}  \right.$
Giải
$\begin{array}
  (I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y = 3z  \\
  (x + y){}^2 - 2xy = 5z  \\
  {(x + y)^3} - 3xy(x + y) = 9z  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y = 3z  \\
  9{z^2} - 5z = 2xy  \\
  27{z^3} - 9z\frac{{9{z^2} - 5z}}{2} = 9z  \\
\end{array}  \right. \\
   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y = 3z  \\
  2xy = 9{z^2} - 5z  \\
  3{z^3} - 5{z^2} + 2z = 0  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y = 3z  \\
  2xy = 9{z^2} - 5z  \\
  z = 0 \vee z = 1 \vee z = \frac{2}{3}  \\
\end{array}  \right. \\
\end{array} $
-   Với $z = 0$ ta có :
   $\left\{ \begin{array}
  x + y = 0  \\
  xy = 0  \\
  z = 0  \\
\end{array}  \right.$
Hệ này có nghiệm $\left( {0;0;0} \right)$
-   Với $z = 1$ ta có :
 $\left\{ \begin{array}
  x + y = 3  \\
  xy = 2  \\
  z = 1  \\
\end{array}  \right.$
Giải hệ ta được hai nghiệm : $\left( {1;2;1} \right),\left( {2;1;1} \right)$
-   Với $z = \frac{2}{3}$ ta có :
 $\left\{ \begin{array}
  x + y = 2  \\
  xy = \frac{1}{3}  \\
  y = \frac{2}{3}  \\
\end{array}  \right.$
Hệ có hai nghiệm :$\left( {\frac{{3 - \sqrt 6 }}{3};\frac{{3 + \sqrt 6 }}{3};\frac{2}{3}} \right),\left( {\frac{{3 + \sqrt 6 }}{3};\frac{{3 - \sqrt 6 }}{3};\frac{2}{3}} \right)$.
Vậy hệ (I) có 5 nghiệm :
$\left( {0;0;0} \right),\left( {1;2;1} \right),\left( {2;1;1} \right),\left( {\frac{{3 - \sqrt 6 }}{3};\frac{{3 + \sqrt 6 }}{3};\frac{2}{3}} \right),\left( {\frac{{3 + \sqrt 6 }}{3};\frac{{3 - \sqrt 6 }}{3};\frac{2}{3}} \right)$

Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình :
$\left( {{\text{III}}} \right)\left\{ \begin{array}
  xy = 12  \\
  yz = 20  \\
  zx = 15  \\
\end{array}  \right.$
Nhận xét: Nghiên cứu cách giải. Hãy thử giải hệ này bằng phương pháp thế.
Tuy nhiên có thể nhận xét về dấu của $x,y,z$để đề ra một cách giải cách.
Rõ ràng $x,y,z$khác $0$và cùng dấu.
Giải
Nhân vế với vế của ba phương trình ta được một phương trình; kết hợp với hai trong ba phương trình đã cho ta được hệ:
$\left\{ \begin{array}
  xy = 12  \\
  yz = 20  \\
  {\left( {xyz} \right)^2} = 3600  \\
\end{array}  \right.$
Ta dễ thấy rằng $\left( {{\text{III}}} \right) \Leftrightarrow \left( {{\text{IV}}} \right)$
Vì ${\left( {xyz} \right)^2} = 3600 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  xyz = 60  \\
  xyz =  - 60  \\
\end{array}  \right.$
Nên hệ $(IV)$ tương đương với hai hệ :
$\left( {\text{V}} \right)\left\{ \begin{array}
  xy = 12  \\
  yz = 20  \\
  xyz = 60  \\
\end{array}  \right.$ và $\left( {{\text{VI}}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  xy = 12  \\
  yz = 20  \\
  xyz =  - 60  \\
\end{array}  \right.$
Giải $\left( {\text{V}} \right)$: Thay $xy = 12$vào phương trình thứ bat a được $z = 5$; thay $yz = 20$ vào phương trình thứ ba ta được $x = 3$. Thay $x = 3,z = 5$ vào phương trình thứ ba ta được $y = 4$.
Hệ $\left( {\text{V}} \right)$ có nghiệm: $\left( {3;4;5} \right).$
Giải $\left( {{\text{IV}}} \right)$: Tương tự hệ $\left( {{\text{IV}}} \right)$có nghiệm $\left( { - 3; - 4; - 5} \right).$
Vậy hệ $\left( {{\text{III}}} \right)$có hai nghiệm: $\left( {3;4;5} \right),\left( { - 3; - 4; - 5} \right).$

2. Áp dụng hệ thức Viét đối với phương trình bậc ba:
Phương pháp:
Hệ thức Viét đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau:
Định lý:
Nếu phương trình $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ có ba nghiệm${x_1},{x_2},{x_3}$ thì :
$\left\{ \begin{array}
  {x_1} + {x_2} + {x_3} =  - \frac{b}{a}  \\
  {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \frac{c}{a}  \\
  {x_1}{x_2}{x_3} =  - \frac{d}{a}  \\
\end{array}  \right.$
Ngược lại, nếu ba số${x_1},{x_2},{x_3}$ thỏa mãn các đẳng thức :
$\left\{ \begin{array}
  {x_1} + {x_2} + {x_3} = {S_1}  \\
  {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = {S_2}  \\
  {x_1}{x_2}{x_3} = P  \\
\end{array}  \right.$
thì chúng là ba nghiệm của phương trình :
${x^3} - {S_1}{x^2} + {S_2}x - P = 0$
 
Theo định lí trên đây có thể giải hệ phương trình ba ẩn
$\left\{ \begin{array}
  {x_1} + {x_2} + {x_3} = {S_1}  \\
  {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = {S_2}  \\
  {x_1}{x_2}{x_3} = P  \\
\end{array}  \right.$
bằng cách giải một phương trình bậc ba ${x^3} - {S_1}{x^2} + {S_2}x - P = 0$

Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình :
$\left\{ \begin{array}
  {x_1} + {x_2} + {x_3} =  - 1  \\
  {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} =  - 10  \\
  {x_1}{x_2}{x_3} =  - 8  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Theo định lí Viét $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình
${x^3} + {x^2} - 10x + 8 = 0$
Ta thấy $x = 1$ là một nghiệm của phương trình trên. Do đó phương trình trên được viết thành : $(x - 1)({x^2} + 2x - 8) = 0$
Giải phương trình này ta được : ${x_1} = 1,{x_2} =  - 4,{x_3} = 2$
Vì hệ phương trình này đối xứng đối với $x,y,z$ nên hệ có $3! = 6$ nghiệm sau :
$\left( {1; - 4;2} \right),\left( {1;2; - 4} \right),\left( {2; - 4;1} \right),\left( { - 4;1;2} \right),\left( {2;1; - 4} \right),\left( { - 4;2;1} \right)$

Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình :
$(II)\left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 4  \\
  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 22  \\
  xyz = 18  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Biến đổi hệ này thành hệ có dạng $(I)$. Bình phương hai vế phương trình thứ nhất rồi trừ từng vế với phương trình thứ hai ta được :
$\,\left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 4  \\
  xy + yz + zx =  - 3  \\
  xyz = 18  \\
\end{array}  \right.$
Hoặc $\,\left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 4  \\
  xy + yz + zx =  - 4  \\
  xyz = 18  \\
\end{array}  \right.$

Theo định lí Viét, $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình :
${x^3} + 4{x^2} - 3x + 18 = 0$
Ta có thể thấy $x = 2$ là một nghiệm. Do đó : $\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 0$
Giải phương trình này ta được : ${x_1} = 2,{x_2} = {x_3} =  - 3$
Vậy hệ có ba nghiệm: $\left( {2; - 3; - 3} \right),\left( { - 3;2; - 3} \right),\left( { - 3; - 3;2} \right)$

Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình :
$\left( {{\text{III}}} \right)\left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 2  \\
  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 6  \\
  {x^3} + {y^3} + {z^3} =  - 8  \\
\end{array}  \right.$
Giải
$\left( {{\text{III}}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 2  \\
  {\left( {x + y + z} \right)^2} - 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 6  \\
  \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - \left( {x{y^2} + {x^2}y + y{z^2} + {y^2}z + z{x^2} + {z^2}x} \right) =  - 8  \\
\end{array}  \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 2  \\
  {(x + y + z)^2} - 2(xy + yz + zx) = 6  \\
  (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2}) - (xy + yz + zx)(x + y + z) + 3xyz =  - 8  \\
\end{array}  \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 2  \\
  xy + yz + zx =  - 1  \\
  xyz = 2  \\
\end{array}  \right.$
Vậy $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình bậc ba
${t^2} + 2t - t - 2 = 0$ hay $(t + 2)({t^2} - 1) = 0$
Phương trình này có nghiệm là : ${t_1} =  - 1,{t_2} = 1,{t_3} =  - 2$
Do đó hệ phương trình có 6 nghiệm là hoán vị của ba số $ - 1,1, - 2$:
$( - 1;1; - 2),( - 1; - 2;1),(1; - 1; - 2),(1; - 2; - 1),( - 2; - 1;1),( - 2;1; - 1)$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình :
${\text{a)}}\left\{ \begin{array}
  {(y + z)^2} - {x^2} = 2  \\
  {(z + x)^2} - {y^2} = 3  \\
  {(x + y)^2} - {z^2} = 4  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{b}})\left\{ \begin{array}
  zx + xy = {x^2} + 2  \\
  xy + yz = {y^2} + 3  \\
  yz + zx = {z^2} + 4  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{c)}}\left\{ \begin{array}
  x + y + z = 1  \\
  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 9  \\
  {x^3} + {y^3} + {z^3} = 1  \\
\end{array}  \right.$
${\text{d)}}\left\{ \begin{array}
  (x + y)(z + x) = x  \\
  (y + z)(x + y) = 2y  \\
  (z + x)(y + z) = 3z  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,{\text{e)}}\,\left\{ \begin{array}
  \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3  \\
  \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 3  \\
  \frac{1}{{xyz}} = 1  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{f)}}\left\{ \begin{array}
  6x{(y + z)^2} = 13yz  \\
  3y{(z + x)^2} = 5zx  \\
  6z{(x + y)^2} = 5xy  \\
\end{array}  \right.$