MỘT
SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN
1. Các phương pháp chung:
Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn vẫn là biến đổi hệ phương
trình đã cho thành những hệ tương đương hoặc những hệ phương trình hệ quả dễ giải
hơn, (trong đó có những phương trình với số ẩn ngày càng ít). Để đạt được điều
này ta thường dùng:
- Phương pháp cộng đại số
- Phương pháp thế
Nếu có dùng phép biến đổi không tương đương thì cần phải thử lại các giá trị
tìm được của ẩn.
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình :
(I){+y=3zx2+y2=5zx3+y3=9z
Giải
I)⇔{+y=3z(x+y)2−2xy=5z(x+y)3−3xy(x+y)=9z⇔{+y=3z9z2−5z=2xy27z3−9z9z2−5z2=9z⇔{+y=3z2xy=9z2−5z3z3−5z2+2z=0⇔{+y=3z2xy=9z2−5zz=0∨z=1∨z=23
- Với z=0 ta có :
{+y=0xy=0z=0
Hệ này có nghiệm (0;0;0)
- Với z=1 ta có :
{+y=3xy=2z=1
Giải hệ ta được hai nghiệm : (1;2;1),(2;1;1)
- Với z=23 ta có :
{+y=2xy=13y=23
Hệ có hai nghiệm :(3−√63;3+√63;23),(3+√63;3−√63;23).
Vậy hệ (I) có 5 nghiệm :
(0;0;0),(1;2;1),(2;1;1),(3−√63;3+√63;23),(3+√63;3−√63;23)
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình :
(III){y=12yz=20zx=15
Nhận xét: Nghiên cứu cách giải. Hãy
thử giải hệ này bằng phương pháp thế.
Tuy nhiên có thể nhận xét về dấu của x,y,zđể đề ra một cách giải cách.
Rõ ràng x,y,zkhác 0và cùng dấu.
Giải
Nhân vế với vế của ba phương trình ta được một phương trình; kết hợp với hai
trong ba phương trình đã cho ta được hệ:
{y=12yz=20(xyz)2=3600
Ta dễ thấy rằng (III)⇔(IV)
Vì (xyz)2=3600⇔[yz=60xyz=−60
Nên hệ (IV) tương đương với hai hệ :
(V){y=12yz=20xyz=60 và (VI)⇔{y=12yz=20xyz=−60
Giải (V): Thay xy=12vào phương trình thứ bat a được
z=5; thay yz=20 vào phương trình thứ ba ta được x=3. Thay x=3,z=5 vào phương trình thứ ba ta được y=4.
Hệ (V) có nghiệm: (3;4;5).
Giải (IV): Tương tự hệ (IV)có nghiệm (−3;−4;−5).
Vậy hệ (III)có hai nghiệm: (3;4;5),(−3;−4;−5).
2. Áp dụng hệ thức Viét đối với phương
trình bậc ba:
Phương pháp:
Hệ thức Viét đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau:
Định lý:
Nếu phương trình ax3+bx2+cx+d=0 có ba nghiệmx1,x2,x3
thì :
{+x2+x3=−bax1x2+x2x3+x3x1=cax1x2x3=−da
Ngược lại, nếu ba sốx1,x2,x3 thỏa mãn các đẳng thức :
{+x2+x3=S1x1x2+x2x3+x3x1=S2x1x2x3=P
thì chúng là ba nghiệm của phương trình :
x3−S1x2+S2x−P=0
Theo định lí trên đây có thể giải hệ phương trình ba ẩn
{+x2+x3=S1x1x2+x2x3+x3x1=S2x1x2x3=P
bằng cách giải một phương trình bậc ba x3−S1x2+S2x−P=0
Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình :
{+x2+x3=−1x1x2+x2x3+x3x1=−10x1x2x3=−8
Giải
Theo định lí Viét x,y,z là ba nghiệm của phương trình
x3+x2−10x+8=0
Ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình trên. Do đó phương trình trên được
viết thành : (x−1)(x2+2x−8)=0
Giải phương trình này ta được : x1=1,x2=−4,x3=2
Vì hệ phương trình này đối xứng đối với x,y,z nên hệ có 3!=6 nghiệm sau :
(1;−4;2),(1;2;−4),(2;−4;1),(−4;1;2),(2;1;−4),(−4;2;1)
Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình :
(II){+y+z=−4x2+y2+z2=22xyz=18
Giải
Biến đổi hệ này thành hệ có dạng (I). Bình phương hai vế phương trình thứ nhất
rồi trừ từng vế với phương trình thứ hai ta được :
{+y+z=−4xy+yz+zx=−3xyz=18
Hoặc {+y+z=−4xy+yz+zx=−4xyz=18
Theo định lí Viét, x,y,z là ba nghiệm của phương trình :
x3+4x2−3x+18=0
Ta có thể thấy x=2 là một nghiệm. Do đó : (x−2)(x2+6x+9)=0
Giải phương trình này ta được : x1=2,x2=x3=−3
Vậy hệ có ba nghiệm: (2;−3;−3),(−3;2;−3),(−3;−3;2)
Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình :
(III){+y+z=−2x2+y2+z2=6x3+y3+z3=−8
Giải
(III)⇔{+y+z=−2(x+y+z)2−2(xy+yz+zx)=6(x+y+z)(x2+y2+z2)−(xy2+x2y+yz2+y2z+zx2+z2x)=−8
⇔{+y+z=−2(x+y+z)2−2(xy+yz+zx)=6(x+y+z)(x2+y2+z2)−(xy+yz+zx)(x+y+z)+3xyz=−8
⇔{+y+z=−2xy+yz+zx=−1xyz=2
Vậy x,y,z là ba nghiệm của phương trình bậc ba
t2+2t−t−2=0 hay (t+2)(t2−1)=0
Phương trình này có nghiệm là : t1=−1,t2=1,t3=−2
Do đó hệ phương trình có 6 nghiệm là hoán vị của ba số −1,1,−2:
(−1;1;−2),(−1;−2;1),(1;−1;−2),(1;−2;−1),(−2;−1;1),(−2;1;−1)
Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình :
a){−x2=2(z+x)2−y2=3(x+y)2−z2=4b){x+xy=x2+2xy+yz=y2+3yz+zx=z2+4c){+y+z=1x2+y2+z2=9x3+y3+z3=1
d){x+y)(z+x)=x(y+z)(x+y)=2y(z+x)(y+z)=3ze){1x+1y+1z=31xy+1yz+1zx=31xyz=1f){x(y+z)2=13yz3y(z+x)2=5zx6z(x+y)2=5xy