A. CÔNG THỨC
Nếu $u(x), v(x)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a, b]$ thì :
$\int\limits_{a}^{b}u(x)v'(x)dx = \left[ {u(x).v(x) } \right]\big|_a^b - \int\limits_{a}^{b}v(x)u'(x)dx$
Tổng quát hơn cho nguyên hàm
$\int\limits u(x)v'(x)dx = \left[ {u(x).v(x) } \right] - \int\limits v(x)u'(x)dx$
Viết gọn là :
$\int\limits_{a}^{b}udv=\left (u.v \right ) \big|_a^b-\int\limits_{a}^{b}vdu$ và
$\int\limits udv=\left (u.v \right ) -\int\limits vdu$
B. CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP
Dạng $1.$
$\int\limits p(x)\left[ {\begin{matrix}\sin f(x)\\ \cos f(x)\\ \tan f(x)\\e^{f(x)} \end{matrix}} \right]dx$
Đặt $u=p(x)$ và $\left[ {\begin{matrix}\sin f(x)\\ \cos f(x)\\ \tan f(x)\\e^{f(x)} \end{matrix}} \right]dx=dv$ trong đó $p(x)$ thường là đa thức, có thể là phân thức, hàm vô tỷ của $x$.
Dạng $2.$
$\int\limits p(x).\ln f(x)dx$
Đặt $u=\ln f(x)$ và $p(x) dx = dv$
Dạng $3.$
$\int\limits e^{f(x)}\left[ {\begin{matrix}\sin g(x)\\ \cos g(x)\end{matrix}} \right]dx$
Đặt $u=e^{f(x)}$ hoặc $u= \left[ {\begin{matrix}\sin g(x)\\ \cos g(x)\end{matrix}} \right]$
C. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ $1.$
Tính $I=\int\limits x\cos xdx$
Lời giải :
Đặt $\begin{cases}u=x\\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=dx \\ v=\sin x \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=x\sin x - \int\limits \sin x dx=\boxed{x\sin x + \cos x +C}$
Trong đó $C$ là hằng số.
Ví dụ $2.$
Tính $I=\int\limits x^3\cos xdx$
Lời giải :
Đặt $\begin{cases}u=x^3\\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=3x^2dx \\ v=\sin x \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=x^3\sin x - 3\int\limits x^2\sin x dx$
Đặt $\begin{cases}u=x^2\\ dv=\sin x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=2xdx \\ v=-\cos x \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=x^3\sin x - 3\left[ {-x^2\cos x+2\int\limits x\cos x dx} \right]$
Đặt $\begin{cases}u=x\\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=dx \\ v=\sin x \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=x^3\sin x+3x^2\cos x -6\left[ {x\sin x - \int\limits \sin x dx} \right]=\boxed{x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6\left ( x\sin x+\cos x \right )+C}$.
Trong đó $C$ là hằng số.
Ví dụ $3.$
Tính $\int\limits_{1}^{e}x^3 \ln^2 x dx$
Lời giải :
Đặt $\begin{cases}u=\ln^2 x \\ dv=x^3dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{2 \ln x}{x} dx\\ v=\frac{1}{4}x^4 \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=\frac{1}{4}x^4\ln^2 x \displaystyle \big|_1^e- \frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}x^3 \ln x dx=\frac{1}{4}e^4- \frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}x^3 \ln x dx$
Đặt $\begin{cases}u=\ln x \\ dv=x^3dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1}{x} dx\\ v=\frac{1}{4}x^4 \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=\frac{1}{4}e^4- \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{8}x^4\ln x \displaystyle \big|_1^e- \frac{1}{8}\int\limits_{1}^{e}x^3 dx} \right]$
$=\frac{1}{4}e^4-\left[ {\frac{1}{8}e^4- \frac{1}{32} x^4\displaystyle \big|_1^e} \right]$
$=\frac{1}{4}e^4-\frac{3e^4+1}{32}$
$=\boxed{ \displaystyle \frac{5e^4-1}{32}}$
Ví dụ $4.$
Tính $\int\limits_{1}^{2} \displaystyle \frac{2x\ln x dx}{(x^2+1)^2} $
Lời giải :
Đặt $\begin{cases}u=\ln x \\ dv= \displaystyle \frac{2x dx}{(x^2+1)^2}=(x^2+1)^{-1}d(x^2+1) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1}{x} dx\\ v=\frac{-1}{x^2+1} \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=\frac{-\ln x}{x^2+1} \displaystyle \big|_1^2+\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x(x^2+1)} dx=\frac{-\ln2}{5} +I_1$
Trong đó,
$I_1= \int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x(x^2+1)} dx=\int\limits_{1}^{2}\frac{x}{x^2(x^2+1)} dx= \frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}\frac{d(x^2)}{x^2(x^2+1)}$
$I_1=\frac{1}{2}\int\limits_{a}^{b}\left ( \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1} \right )d(x^2)=\frac{1}{2}\ln \frac{x^2}{x^2+1}\displaystyle \big|_1^2=\frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}$.
Vậy $I= \boxed{ \displaystyle \frac{1}{2}\ln \frac{8}{5}-\frac{\ln2}{5}}$.
Ví dụ $5.$
Tính $I=\int\limits \displaystyle e^{-2x}\cos 3x dx $
Lời giải :
Đặt $\begin{cases}u=e^{-2x} \\ dv= \displaystyle\cos 3x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=-2e^{-2x}\\ v=\frac{1}3\sin 3x \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=\frac{1}3e^{-2x}\sin 3x+\frac{2}{3}\int\limits e^{-2x}\sin3x dx$
Đặt$\begin{cases}u=e^{-2x} \\ dv= \displaystyle\sin 3x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=-2e^{-2x}\\ v=-\frac{1}3\cos 3x \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=\frac{1}3e^{-2x}\sin 3x+\frac{2}{3}\left[ -{\frac{1}3e^{-2x}\cos 3x-\frac{2}{3}\int\limits e^{-2x}\cos3x dx} \right]$
$=\frac{1}9e^{-2x}\left (3\sin 3x - 2\cos3x \right )-\frac{4}{9}\int\limits \displaystyle e^{-2x}\cos 3x dx$
$=\frac{1}9e^{-2x}\left (3\sin 3x - 2\cos3x \right )-\frac{4}{9}I$
$\Rightarrow \frac{13}{9}I=\frac{1}9e^{-2x}\left (3\sin 3x - 2\cos3x \right )$
Vậy $I=\boxed{ \displaystyle\frac{1}{13}e^{-2x}\left (3\sin 3x - 2\cos3x \right )+C}$
Trong đó $C$ là hằng số.
.
D. CÁC BÀI THI ĐẠI HỌC
Ví dụ $6.$ (Đại học Khối $A-2012$)
Tính $I=\int\limits_{1}^{3}\displaystyle \frac{1+ \ln (x+1)}{x^2}dx$
Lời giải :
Đặt $\begin{cases}u=1+ \ln (x+1) \\ dv= \displaystyle \frac{dx}{x^2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1}{x+1} dx\\ v=\frac{-1}{x} \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=-\frac{1+ \ln (x+1)}{x} \displaystyle \big|_1^3+\int\limits_{1}^{3}\frac{1}{x(x+1)} dx=\frac{2+\ln2}{3} +I_1$
Trong đó,
$I_1= \int\limits_{1}^{3}\frac{1}{x(x+1)} dx=\int\limits_{1}^{3}\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right )dx=\ln\left| {\frac{x}{x+1}} \right| \displaystyle \big|_1^3=\ln 3 - \ln 2$.
Vậy $I= \boxed{ \displaystyle \frac{2}{3}+\ln 3-\frac{2}{3}\ln2}$.
Ví dụ $7.$ (Đại học Khối $D-2012$)
Tính $I=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle x(1+\sin 2x)dx$
Lời giải :
$I=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle xdx+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle x\sin 2xdx=\frac{\pi^2}{32}+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle x\sin 2xdx$
Đặt $\begin{cases}u=x \\ dv= \sin 2x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=dx\\ v=-\frac{1}{2}\cos2x \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I=\frac{\pi^2}{32}+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle x\sin 2xdx=\frac{\pi^2}{32}-\frac{1}{2}x\cos2x |_{0}^{\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{2}\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{4}}\displaystyle \cos 2xdx$
$=\frac{\pi^2}{32}+\frac{1}{4}\sin 2x |_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
Vậy $I= \boxed{ \displaystyle \frac{\pi^2}{32}+\frac{1}{4}}$.
Ví dụ $8.$ (Đại học Khối $B-2011$)
Tính $I=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{1+x\sin x}{\cos^2x}dx$
Lời giải :
$I=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}dx+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{x\sin x}{\cos^2x}dx=I_1+I_2$
Trong đó,
$I_1=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x |_{0}^{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}$
và
$I_2=\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{x\sin x}{\cos^2x}dx$
Đặt $\begin{cases}u=x \\ dv=\frac{\sin x}{\cos^2x} dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}du=dx\\ v=-\frac{1}{\cos x} \end{cases}$.
Khi đó ta có :
$I_2=\frac{x}{\cos x} |_{0}^{\frac{\pi}{3}}-\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{dx}{\cos x}$
$=\frac{2\pi}{3}+\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{d\sin x}{\sin^2x-1}$
$=\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{2}\int\limits_{\displaystyle0}^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\displaystyle\left ( \frac{1}{\sin x - 1}-\frac{1}{\sin x +1} \right )d\sin x$
$=\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{2} \displaystyle \left ( \ln \left| {\frac{\sin x -1}{\sin x + 1} }\right| \right ) |_{0}^{\frac{\pi}{3}}$
$=\frac{2\pi}{3}+\displaystyle \ln (2- \sqrt{3})$.
Vậy $I= \boxed{ \displaystyle \sqrt{3}+\frac{2\pi}{3}+\ln (2- \sqrt{3})}$.
E. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài $1.$
Tính $I=\int\limits_{\displaystyle 0 }^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}x\cos^2xdx$
Bài $2.$
Tính $I=\int\limits_{0 }^{1}\displaystyle \frac{x^2e^x}{(x+2)^2}dx$
Bài $3.$
Tính $I=\int\limits_{ 0 }^{1}e^{-2x}\sin^2(\pi x)dx$
Bài $4.$
Tính $I=\int\limits_{\displaystyle \frac{\pi}{4} }^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}\frac{x^2\cos x}{\sin^3 x}dx$
Bài $5.$
Tính $I=\int\limits \cos (\ln x)dx$
Bài $6.$
Tính $I=\int\limits_{0 }^{\pi}e^{2x}\sin^2xdx$
Bài $7.$ (Đại học Khối $D-2010$)
Tính $I=\int\limits_{1 }^{e}\left (2x-\frac{3}{x} \right )\ln x dx$
Bài $8.$ (Đại học Khối $B-2009$)
Tính $I=\int\limits_{1}^{3} \frac{3+\ln x}{(x+1)^2}dx$
|