A. LÝ THUYẾT
Khi tính tích phân của một hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối, ta làm như sau:
$1.$ Xét dấu của hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối trong đoạn chứa hai cận.
$2.$ Khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số trên từng đoạn.
$3$. Áp dụng tính chất :
$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{c}f(x)dx+\int\limits_{c}^{b}f(x)dx (a<c<b)$
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ $1.$ Tính $I=\int\limits_{0}^{2}|1-x|dx$
Lời giải:
Lập bảng xét dấu cho hàm số $|1-x|$ trên đoạn $[0, 2]$ với chú ý $1-x=0\Leftrightarrow x=1$, ta có :
$\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \quad & 1 & \quad & 2\\
\hline
1-x & \quad & + & 0 & - \\
\end{array}$
Do đó :
$I=\int\limits_{0}^{1}|1-x|dx+\int\limits_{1}^{2}|1-x|dx=\int\limits_{0}^{1}(1-x)dx+\int\limits_{1}^{2}(x-1)dx$
$=\left ( x-\frac{x^2}{2} \right ) \left| {\begin{array}{*{10}{c}}1 \\0 \end{array} } \right.+\left (\frac{x^2}{2}-x \right ) \left| {\begin{array}{*{10}{c}}2 \\1 \end{array} } \right.=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
Ví dụ $2.$ Tính $I=\int\limits_{0}^{2}|x^2-x|dx$
Lời giải:
Lập bảng xét dấu cho hàm số $|x^2-x|$ trên đoạn $[0, 2]$ với chú ý $x^2-x=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=0\\ x=1 \end{matrix}} \right.$, ta có :
$\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \quad & 1 & \quad & 2 \\
\hline
x^2-x & 0 & \quad - & 0 & + \\
\end{array}$
Do đó :
$I=\int\limits_{0}^{1}|x^2-x|dx+\int\limits_{1}^{2}|x^2-x|dx=\int\limits_{0}^{1}(x-x^2)dx+\int\limits_{1}^{2}(x^2-x)dx$
$=\left (\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} \right ) \left| {\begin{array}{*{10}{c}}1 \\0
\end{array} } \right.+\left (\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2} \right ) \left|
{\begin{array}{*{10}{c}}2 \\1 \end{array} }
\right.=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=1$
Ví dụ $3.$ Tính $I=\int\limits_{-2}^{4}|x^2-4x+3|dx$
Lời giải:
Lập
bảng xét dấu cho hàm số $|x^2-4x+3|$ trên đoạn $[-2, 4]$ với chú ý
$x^2-4x+3=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=1\\ x=3 \end{matrix}}
\right.$, ta có :
$\begin{array}{c|ccc}
x & -2 & \quad&1 & \quad & 3 & \quad & 4 \\
\hline
x^2-4x+3 & & + & 0 & - & 0 & + \\
\end{array}$
Do đó :
$I=\int\limits_{-2}^{1}|x^2-4x+3|dx+\int\limits_{1}^{3}|x^2-4x+3|dx+\int\limits_{3}^{4}|x^2-4x+3|dx=\int\limits_{-2}^{1}(x^2-4x+3)dx-\int\limits_{1}^{3}(x^2-4x+3)dx+\int\limits_{3}^{4}(x^2-4x+3)dx$
$=\left (\frac{x^3}{3}-2x^2+3x \right ) \left| {\begin{array}{*{10}{c}}1 \\-2
\end{array} } \right.-\left (\frac{x^3}{3}-2x^2+3x \right ) \left| {\begin{array}{*{10}{c}}3 \\1
\end{array} } \right.+\left (\frac{x^3}{3}-2x^2+3x \right ) \left|
{\begin{array}{*{10}{c}}4 \\3 \end{array} }
\right.=\frac{8}{3}+\frac{50}{3}+\frac{4}{3}=\frac{62}{3}$
Ví dụ $4.$ Tính $I=\int\limits_{0}^{3}\frac{|x^2-3x+2|}{x+1}dx$
Lời giải:
Lập
bảng xét dấu cho hàm số $\frac{|x^2-3x+2|}{x+1}$ trên đoạn $[0, 3]$ với chú ý
$x^2-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=1\\ x=2 \end{matrix}}
\right. $ và $x+1 >0$ , ta có :
$\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \quad&1 & \quad & 2 & \quad & 3 \\
\hline
x^2-3x+2 & & + & 0 & - & 0 & + \\
\end{array}$
Do đó :
$I=\int\limits_{0}^{1}\frac{|x^2-3x+2|}{x+1}dx+\int\limits_{1}^{2}\frac{|x^2-3x+2|}{x+1}dx+\int\limits_{2}^{3}\frac{|x^2-3x+2|}{x+1}dx=\int\limits_{0}^{1}\frac{x^2-3x+2}{x+1}dx-\int\limits_{1}^{2}\frac{x^2-3x+2}{x+1}dx+\int\limits_{2}^{3}\frac{x^2-3x+2}{x+1}dx$
$=\int\limits_{0}^{1}\left (x-4+\frac{6}{x+1} \right
)dx-\int\limits_{1}^{2}\left (x-4+\frac{6}{x+1} \right
)dx+\int\limits_{2}^{3}\left (x-4+\frac{6}{x+1} \right )dx$
$=\left (\frac{x^2}{2}-4x+6\ln |x+1| \right ) \left| {\begin{array}{*{10}{c}}1 \\0
\end{array} } \right.-\left (\frac{x^2}{2}-4x+6\ln |x+1| \right ) \left| {\begin{array}{*{10}{c}}2 \\1
\end{array} } \right.+\left (\frac{x^2}{2}-4x+6\ln |x+1| \right ) \left|
{\begin{array}{*{10}{c}}3 \\2 \end{array} }
\right.=\boxed{\displaystyle 24\ln2 -12\ln 3 - \frac{5}{2}}$
Ví dụ $5.$ Tính $I=\int\limits_{0}^{4}\sqrt{x^3-2x^2+x}dx$
Lời giải:
Ta có :
$I=\int\limits_{0}^{4}\sqrt{x^3-2x^2+x}dx=\int\limits_{0}^{4}\sqrt{x(x-1)^2}dx=\int\limits_{0}^{4}|x-1|\sqrt{x}dx$
$=\int\limits_{0}^{1}|x-1|\sqrt{x}dx+\int\limits_{1}^{4}|x-1|\sqrt{x}dx=-\int\limits_{0}^{4}(x-1)\sqrt{x}dx+\int\limits_{1}^{4}(x-1)\sqrt{x}dx$
$=-\int\limits_{0}^{4}\left ( x^{\displaystyle \frac{3}{2}}-
x^{\displaystyle \frac{1}{2}} \right )dx+\int\limits_{1}^{4}\left (
x^{\displaystyle \frac{3}{2}}- x^{\displaystyle \frac{1}{2}} \right )dx$
$=-\left ( \frac{2}{5}x^{\displaystyle \frac{5}{2}} -\frac{2}{3}x^{\displaystyle \frac{3}{2}}\right )\left|
{\begin{array}{*{10}{c}}1 \\0 \end{array} }
\right.+\left ( \frac{2}{5}x^{\displaystyle \frac{5}{2}} -\frac{2}{3}x^{\displaystyle \frac{3}{2}}\right )\left|
{\begin{array}{*{10}{c}}4 \\1 \end{array} }
\right.=\boxed{\displaystyle 8}.$
Ví dụ $6.$ Tính $I=\int\limits_{0}^{2 \pi}\sqrt{1-\cos 2x}dx$
Lời giải:
Ta có :
$I=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{2\sin^2 x}dx=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{2\pi}|\sin x|dx$
Giải phương trình $\sin x =0 \Leftrightarrow x=k\pi \Rightarrow $ có nghiệm $x=\pi \in [0, 2\pi]$
Do đó :
$I=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{\pi}|\sin
x|dx+\sqrt{2}\int\limits_{\pi}^{2\pi}|\sin
x|dx=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{\pi}\sin
xdx-\sqrt{2}\int\limits_{\pi}^{2\pi}\sin xdx$
$=\sqrt{2}\left ( -\cos x \right )\left|
{\begin{array}{*{10}{c}}\pi \\0 \end{array} }
\right.-\sqrt{2}\left ( -\cos x\right )\left|
{\begin{array}{*{10}{c}}2\pi \\\pi \end{array} }
\right.=\boxed{\displaystyle 4\sqrt{2}}.$
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài $1.$
Tính $\int\limits_{-3}^{3}\left| {x^2-1} \right|dx$
Đáp số : $I=\frac{44}{3}$
Bài $2.$
Tính $\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}\frac{\left| {x^2-1} \right|}{x^2+1}dx$
Đáp số : $I=\sqrt{3}-2+\frac{\pi}{3}$
Bài $3.$
Tính $\int\limits_{0}^{3}\left| {2^x-4} \right|$
Đáp số : $I=4+\frac{1}{\ln2}$
Bài $4.$
Tính $\int\limits_{-2}^{3}\left| {x^3-2x^2-x+2} \right|dx$
Đáp số : $I=\frac{133}{12}$
Bài $5.$
Tính $I=\int\limits_{0}^{2 \pi}\sqrt{1+\cos x}dx$
Đáp số : $I=4\sqrt{2}$
|