PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Question

A. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
*

$\log_a f(x)=\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin{cases}f(x), g(x) > 0 \\ f(x)=g(x) \end{cases}$
*

$\log_a f(x)=b\Leftrightarrow f(x)=a^b$
*

$\log_{f(x)} g(x)=b \Leftrightarrow\begin{cases}0<f(x) \ne 1 \\ g(x)= f(x)^b \end{cases}$
*

$\log_a f(x) \ge \log_a g(x) (1)$
+ Nếu

$a>1$ thì PT

$(1)\Leftrightarrow \begin{cases}f(x)> g(x) \\ g(x)>0 \end{cases}$
+ Nếu

$0<a<1$ thì PT

$(1)\Leftrightarrow \begin{cases}f(x)< g(x) \\ f(x)>0 \end{cases}$
Chú ý rằng

$\log_a f(x)$ có nghĩa

$\Leftrightarrow \begin{cases}f(x)>0\\0<a \ne 1 \end{cases}$
*

$\log_{f(x)} g(x) > 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \begin{cases}0<f(x)<1 \\ 0<g(x)<1 \end{cases}\\ \begin{cases}f(x)>1 \\ g(x)>1 \end{cases} \end{matrix}\right.$
*

$\log_{f(x)} g(x) < 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \begin{cases}0<f(x)<1 \\ g(x)>1 \end{cases}\\ \begin{cases}f(x)>1 \\0< g(x)<1 \end{cases} \end{matrix}\right.$
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
Ví dụ $1.$ Giải phương trinh

$\log_3 \left[ {1+ \log_3 (2^x-7)} \right]=1$
Lời giải :
PT đã cho

$\Leftrightarrow 1+ \log_3 (2^x-7)=3\Leftrightarrow \log_3 (2^x-7)=2\Leftrightarrow 2^x-7=9\Leftrightarrow 2^x=16\Leftrightarrow x=4.$

Ví dụ $2.$ Giải phương trinh

$\log_2 x + \log_3 x + \log_4 x = \log_{20} x$
Lời giải :
Dùng công thức đổi cơ số, ta được

$\log_2 x + \log_2 x \log_3 2 + \log_2 x \log_4 2=\log_2 x \log_{20} 2$

$\Leftrightarrow \left ( 1+\log_3 2+ \log_4 2- \log_{20} 2 \right ).\log_2 x = 0$
Kiểm tra rằng :

$1+\log_3 2+ \log_4 2- \log_{20} 2 \ne 0$ , do đó :
PT

$\Leftrightarrow \log_2 x =0\Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn).
Vậy PT có nghiệm duy nhất

$x=1.$

Ví dụ $3.$ Giải phương trình

$\log_{x+3} \left ( 3-\sqrt{x^2-2x+1} \right )=\frac{1}{2} (1)$
Lời giải:
PT

$(1)\Leftrightarrow \begin{cases}0<x+3 \ne 1 \\3-\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{x+3} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-3<x \ne -2 \\ 3-|x-1|=\sqrt{x+3} \end{cases} (2)$
* Nếu

$x=1$ thì hệ

$(2)\Leftrightarrow \begin{cases}-3<x \ne -2 \\ 4-x=\sqrt{x+3} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-3<x \ne -2 \\ x \le 4 \\ (4-x)^2=x+3 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}-3<x\le 4 ; x \ne -2 \\ x^2-9x+13=0 \end{cases}$ .
Giải hệ này tìm được

$x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$ .
* Nếu

$x<1$ thì hệ

$(2)\Leftrightarrow \begin{cases}-3<x \ne -2 \\ 2+x=\sqrt{x+3} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-3<x \ne -2 \\ x \ge -2 \\ (2+x)^2=x+3 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x > -2 \\ x^2+3x+1=0 \end{cases}$ .
Giải hệ này tìm được

$x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ .
Vậy PT có hai nghiệm

$x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$ và

$x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ .

Ví dụ $4.$ Giải bất phương trình

$\log_{x^2}\left ( \frac{4x-5}{|x-2|} \right ) \ge \frac{1}{2} (1)$
Lời giải :
Điều kiện :

$\begin{cases}0 < x^2 \ne 1 \\ \frac{4x-5}{|x-2|} > 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>\frac{5}{4} \\ x \ne 2\end{cases}$
PT

$(1)\Leftrightarrow \begin{cases}x>\frac{5}{4} ;x \ne 2 \\ \log_{x^2}\left ( \frac{4x-5}{|x-2|} \right ) \ge \log_{x^2} x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x>\frac{5}{4} ;x \ne 2 \\ \frac{4x-5}{|x-2|} \ge x \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>\frac{5}{4} ;x \ne 2 \\ 4x-5 \ge x|x-2| \end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}x>2 \\ 4x-5 \ge x(x-2) \end{cases}\\ \begin{cases}\frac{5}{4}<x<2 \\ 4x-5 \ge -x(x-2) \end{cases} \end{matrix}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}x>2 \\ x^2-6x+5 \le 0 \end{cases}\\ \begin{cases}\frac{5}{4}<x<2 \\ x^2+2x-5 \ge 0 \end{cases} \end{matrix}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 2<x \le 5\\ \sqrt 6 - 1 \le x < 2 \end{matrix}} \right. \Leftrightarrow x \in (2; 5] \cup [\sqrt 6 -1; 2)$ .
Vậy tập nghiệm của BPT là

$\mathbb{S} = (2; 5] \cup [\sqrt 6 -1; 2)$ .

Ví dụ $5.$ Giải phương trình

$\log_4 (x+1)^2 +2 =\log_{\sqrt 2} \sqrt{4-x}+ \log_8 (x+4)^3$
Lời giải :
Điều kiện:

$\begin{cases}-4<x<4 \\ x \ne -1 \end{cases}$
Với điều kiện trên PT tương đương với

$\log_2 |x+1| + 2 = \log_2 (4-x) + \log_2 (x+4)$

$\Leftrightarrow \log_2 |x+1|.4 = \log_2 (16-x^2)$

$\Leftrightarrow |x+1|.4=16-x^2 (1)$
Nếu

$-1 \le x < 4$ thì

$(1)\Leftrightarrow x^2+4x-12=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2\\ x=-6 \end{matrix}} \right.$ . Kết hợp điều kiện ta được

$x=2$ .
Nếu

$-4 \le x < -1$ thì

$(2)\Leftrightarrow x^2-4x-20=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2+2\sqrt 6\\ x=2-2\sqrt 6 \end{matrix}} \right.$ . Kết hợp điều kiện ta được

$x=2-2\sqrt 6$ .
Vậy PT đã cho có hai nghiệm

$x=2$ và

$x=2-2\sqrt 6$ .
Bài tập tương tự

$1.$ Giải phương trình :

$\log_3 (2x+1) - \log_{\frac{1}{3}}(3-x)=0$
Đáp số :

$x=\frac{5 \pm \sqrt{41}}{4}$ .

$2.$ Giải phương trình :

$\log_5 (4^x+144) - 4\log_5 2 < 1 + \log_5(2^{x-2}+1)$
Đáp số :

$2<x<4$ .

$3.$ Giải bất phương trình

$x\log_{\frac{1}{5}}(x^2+x+1) >0$
Đáp số :

$x<-1.$

II. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ $1.$ Giải phương trình

$\log_3^2 x +\sqrt{\log_3^2 x+1}-5=0$
Lời giải :
Điều kiện

$x>0$ . Đặt

$t=\sqrt{\log_3^2 x+1}, t\ge 1.$
Pt trở thành

$t^2+t-6=0\Leftrightarrow t=2 (t \ge 1)$ .
Với

$t=2\Rightarrow \sqrt{\log_3^2 x+1}=2\Leftrightarrow \log_2^3 x = 3\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}\log_3 x = \sqrt 3\\ \log_3 x = - \sqrt 3 \end{matrix}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}x = 3^\sqrt 3\\ x = 3^{- \sqrt 3} \end{matrix}} \right.$ , thỏa mãn điều kiện.
Vậy PT có hai nghiệm

$x = 3^\sqrt 3$ và

$x = 3^{- \sqrt 3}$ .

Ví dụ $2.$ Giải phương trình

$\log_{2x-1} (2x^2+x-1) + \log_{x+1} (2x-1)^2=4$
Lời giải :
Phhương trình

$\Leftrightarrow \log_{2x-1} \left[ {(2x-1)(x+1)} \right] + \log_{x+1} (2x-1)^2=4 (1)$
Điều kiện

$\begin{cases}0<x+1 \ne 1 \\ 0<2x-1 \ne 1 \end{cases}\Leftrightarrow \frac{1}{2} < x \ne 0 (*)$
Với điều kiện

$(*)$ , PT

$(1)\Leftrightarrow \log_{2x-1} (x-1) + 2\log_{x+1} (2x-1) -3=0$
Đặt

$t= \log_{2x-1} (x-1)$ , do điều kiện

$(*)$ nên

$t \ne 0.$
PT trở thành

$t + \frac{2}{t}-3=0\Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} t=1\\ t=2 \end{matrix}} \right.$
Với

$t=1$ thì

$\log_{2x-1} (x-1)=1\Leftrightarrow x+1=2x-1\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn).
Với

$t=2$ thì

$\log_{2x-1} (x-1)=2\Leftrightarrow x+1=(2x-1)^2\Leftrightarrow 4x^2-5x=0\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix}x=0\\ x=\frac{5}{4} \end{matrix}} \right.\Rightarrow x=\frac{5}{4}$ .
Vậy PT có hai nghiệm

$x=2$ và

$x=\frac{5}{4}$ .

Ví dụ $3.$ Giải phương trình

$\log^4_2(x)-\log^2_{\frac{1}{2}}\left (\frac{x^3}{8} \right )+9\log_2\left (\frac{32}{x^2} \right ) < 4\log^2_{\frac{1}{2}}\left (x \right )$
Lời giải :
Điều kiện

$x > 0$ .
BPT trên

$\Leftrightarrow \log^4_2(x)-\log^{2}_{2^{-1}}\left (\frac{x^3}{8} \right )+9\log_2\left (\frac{32}{x^2} \right ) < 4\log^2_{2^{-1}}\left (x \right )$

$\Leftrightarrow \log^4_2(x)-\left[ {\log_2 x^3-\log_28} \right]^2+9\left[ {\log_2 32 - \log_2 x^2} \right] <4\log^2_{2}\left (x \right )$

$\Leftrightarrow \log^4_2(x)-\left[ {\log_2 x^3-3} \right]^2+9\left[ {5 - \log_2 x^2} \right] <4\log^2_{2}\left (x \right )$

$\Leftrightarrow \log^4_2(x)-\left[ {3\log_2 x-3} \right]^2+9\left[ {5 - 2\log_2 x} \right] <4\log^2_{2}\left (x \right )$
Đặt

$t=\log_2 x,$ BPT trên tương đương với

$t^4-13t^2+36<0\Leftrightarrow 4<t^2<9\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} -3<t<-2\\2<t<3 \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} -3<\log_2 x<-2\\2<\log_2 x<3 \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \frac{1}{8}<x<\frac{1}{4}\\4<x<8 \end{matrix}} \right.$
Vậy BPT có nghiệm

$\left ( \frac{1}{8}, \frac{1}{4} \right ) \cup (4,8).$

Ví dụ $4.$ Giải bất phương trình

$\frac{6}{\log_2 2x}+\frac{4}{\log_2 x^2}>3$
Lời giải :
Điều kiện :

$x>0$ .
BPT

$\Leftrightarrow \frac{6}{\log_2 x+1}+\frac{4}{2\log_2 x}>3$
Đặt

$t=\log_2 x, t\ne 0.$
BPT

$\Leftrightarrow \frac{6}{t+1}+\frac{2}{t}>3\Leftrightarrow \frac{-3t^2+5t+2}{t(1+t)}>0\Leftrightarrow \frac{(3t+1)(t-2)}{t(t+1)}<0$
Lập bảng xét dấu ta có :

$\left[ {\begin{matrix} -1<t<-\frac{1}{3}\\0<t<2\end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} -1<\log_2 x<-\frac{1}{3}\\0<\log_2 x<2\end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \frac{1}{2}<x<\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\\1<x<4\end{matrix}} \right.$
Vậy BPT có nghiệm

$\left ( \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right ) \cup (1,4).$
Bài tập tương tự

$1.$ Giải bất phương trình :

$\log_3(3^x-1) .\log_{\frac{1}{3}}(3^{x+2}-9)>-3$
Hướng dẫn : Đặt

$t=\log_3(3^x-1)$ . PT

$\Leftrightarrow t^2+2t-3<0\Leftrightarrow \log_3\frac{28}{27}<x<\log_3 4$ .

$2.$ Giải bất phương trình :

$\log_x 2x \le \sqrt{\log_x(2x^3)}$
Hướng dẫn: Điều kiện

$x \ne 1, x>0$ . Đặt

$t=\log_x 2$ .
PT

$\Leftrightarrow t+1 \le \sqrt{t+3}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}\begin{cases}t+1<0 \\ t+3 \ge 0 \end{cases}\\ \begin{cases}t+1 \ge 0 \\(t+1)^2 \le t+3 \end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} -3 \le t <-1\\ -1 \le t \le 1 \end{matrix}} \right.$
Thay trở lại về

$x$ ta thu được đáp số :

$x \in \left ( 0, \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \right ] \cup [2,+\infty)$ .

$3.$ Giải phương trình

$\log_{\frac{x}{2}}x^2 -14\log_{16x}x^3+40\log_{4x}\sqrt x=0$
Hướng dẫn: Điều kiện

$x \ne \frac{1}{4}, x \ne \frac{1}{16},x \ne 2, x>0$ . Đặt

$t=\log_x 2$ .
PT

$\Leftrightarrow \frac{2}{1-t}-\frac{42}{1+4t}+\frac{20}{1+3t}=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=\frac{1}{2}\\ t=-2 \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=\frac{1}{\sqrt 2}\\ x=4 \end{matrix}} \right.$ .

Ví dụ $1.$ Giải phương trình

$3^x=3-\log_5 x$ .
Lời giải :
Dễ thấy

$x=1$ là nghiệm của PT.
Với

$x>1$ thì

$3^x>3^1=3-\log_5 1>3-\log_5 x$ .
Với

$x<1$ thì

$3^x<3^1=3-\log_5 1<3-\log_5 x$ .
Vậy

$x=1$ là nghiệm duy nhất của PT.

Ví dụ $2.$ Giải bất phương trình

$\log_5(3+\sqrt x) > \log_4 x$
Lời giải:
Điều kiện

$x>0.$
Đặt

$t=\log_4 x\Rightarrow x=4^t$ .
BPT

$\Leftrightarrow \log_5(3+2^t) >t\Leftrightarrow 3+2^t > 5^t\Leftrightarrow \frac{3}{5^t}+\left (\frac{2}{5} \right )^t > 1$
Hàm số

$f(t)= \frac{3}{5^t}+\left (\frac{2}{5} \right )^t$ có

$f'(t)= -\frac{3}{5^t}+\left (\frac{2}{5} \right )^t \ln\frac{2}{5} <0 \forall t$ nên nó là hàm nghịch biến trên

$\mathbb{R}$ và thấy rằng

$f(1)=1.$
BPT trở thành :

$f(t)>f(1)\Leftrightarrow t<1\Leftrightarrow \log_4 x <1 \Leftrightarrow 0<x<4.$

Ví dụ $3.$ Giải phương trình

$\log_3\frac{x^2+x+1}{2x^2-2x+3} =x^2-3x+2$
Lời giải:
Đặt

$u=x^2+x+1, v=2x^2-2x+3 (u, v>0)$ suy ra

$v-u=x^2-3x+2$ .
PT đã cho trở thành

$\log_3 \frac{u}{v}=v-u\Leftrightarrow \log_3u-\log_3v=v-u\Leftrightarrow \log_3u+u=\log_3v+v (1)$
Xét hàm số

$f(t)=\log_3t+t$ , ta có

$f'(t)=\frac{1}{t\ln 3}+1>0 \forall t>0$ nên hàm số đồng biến khi

$t>0.$
Từ

$(1)$ ta có

$f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v\Leftrightarrow v-u=0\Leftrightarrow x^2-3x+2=0$
Vậy PT có nghiệm

$x=1, x=2.$
Bài tập tương tự

$1.$ Giải phương trình :

$\log_5x= \log_7(x+2)$
Hướng dẫn : Đặt

$t=\log_5x= \log_7(x+2)\Rightarrow \begin{cases}x=5^t \\ x+2= 7^t\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=5^t \\ 5^t+2= 7^t\end{cases}$ .
Xét tính đơn điệu của hàm