ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

Quan tâm

Đưa vào sổ tay

Tích phân hàm lượng giác tổng quát có dạng :

$I=\int\limits_{a}^{b}F(\sin x, \cos x)dx$ .
Tùy thuộc vào tính chất và dạng đặc biệt của hàm

$F(\sin x, \cos x)$ hoặc mối quan hệ giữa hàm

$F(\sin x, \cos x)$ với các cận lấy tích phân mà chúng ta sử dụng phép biến đổi tương đương.
DẠNG $1$ .

$F(\sin x, \cos x)=F(-\sin x,- \cos x)$ (

$F$ là hàm số chẵn theo

$\sin x$ và

$\cos x$ )
Cách giải : Đặt

$t=\tan x$ hoặc

$t = \cot x$ .
Ví dụ $1$ . Tính tích phân

$I=\int\limits_{\displaystyle \frac{\pi}{6}}^{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt[3]{\sin^3 x-\sin x}}{\sin^3 x}\cot xdx$ .
Lời giải:
Rõ ràng

$F=\frac{\sqrt[3]{\sin^3 x-\sin x}}{\sin^3 x}\cot x=\frac{\sqrt[3]{(-\sin x)^3-(-\sin x)}}{(-\sin x)^3}.\frac{-\cos x}{-\sin x}$ nên nó là hàm số chẵn theo

$\sin x$ và

$\cos x$ .
Ta có :

$I=\int\limits_{\displaystyle \frac{\pi}{6}}^{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt[3]{1-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}}}{\sin^2 x}\cot xdx=\int\limits_{\displaystyle \frac{\pi}{6}}^{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt[3]{1-(1+\cot^2 x)}}{\sin^2 x}\cot xdx=-\int\limits_{\displaystyle \frac{\pi}{6}}^{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt[3]{\cot^2x}}{\sin^2 x}\cot xdx$
Đặt

$t=\cot x\Rightarrow dt=-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}dx.$
Khi

$x=\frac{\pi}{6}\Rightarrow t=\sqrt 3; x=\frac{\pi}{3}\Rightarrow t=\frac{1}{\sqrt 3}$ .
Từ đó

$I=\int\limits_{\displaystyle \sqrt 3}^{\displaystyle \frac{1}{\sqrt 3}}t^{\displaystyle\frac{2}3}.tdt=\int\limits_{\displaystyle \sqrt 3}^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt 3}}t^{\displaystyle\frac{5}{3}}dt=\boxed{\displaystyle\frac{1}{8}\left (9\sqrt[3]{3} -\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right )}.$
DẠNG $2$ .

$F(\sin x, \cos x)=-F(\sin x,- \cos x)$ (

$F$ là hàm số lẻ theo

$\cos x$ )
Cách giải : Đặt

$t=\sin x$ .
Ví dụ $2$ . Tính tích phân

$I=\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2x}{(2+\sin x)^2}dx$ .
Lời giải:
Ta thấy

$F=\frac{\sin 2x}{(2+\sin x)^2}=\frac{2\sin x \cos x}{(2+\sin x)^2}=-\frac{2\sin x (-\cos x)}{(2+\sin x)^2}$ nên

$F$ là hàm số lẻ theo

$\cos x$ .
Ta có :

$I=\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}\frac{2\sin x \cos x}{(2+\sin x)^2}dx$
Đặt

$t=\sin x\Rightarrow dt=\cos x dx.$
Khi

$x=0\Rightarrow t=0; x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=1$ .
Từ đó

$I=\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{t}{(2+t)^2}dt=2\left (\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{2+t}dt-\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{(2+t)^2}dt \right )=\boxed{\displaystyle2\left (\ln \frac{3}{2} -\frac{1}{{3}}\right )}.$
DẠNG $3$ .

$F(\sin x, \cos x)=-F(-\sin x, \cos x)$ (

$F$ là hàm số lẻ theo

$\sin x$ )
Cách giải : Đặt

$t=\cos x$ .
Ví dụ $3$ . Tính tích phân

$I=\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \frac{\pi}{6}}\frac{\sin x-\sin^3 x}{\cos 2x}dx$ .
Lời giải:
Ta thấy

$F=\frac{\sin x-\sin^3 x}{\cos 2x}=-\frac{(-\sin x)-(-\sin x)^3}{\cos 2x}$ nên

$F$ là hàm số lẻ theo

$\sin x$ .
Đặt

$t=\cos x\Rightarrow dt=-\sin x dx.$
Khi

$x=0\Rightarrow t=1; x=\frac{\pi}{6}\Rightarrow t=\frac{\sqrt 3}{2}$ .
Ta có :

$I=\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \frac{\pi}{6}}\frac{\sin x-\sin^3 x}{\cos 2x}dx=\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \frac{\pi}{6}}\frac{\sin^2 x-1}{2\cos^2 x-1}(-\sin x)dx=-\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \frac{\pi}{6}}\frac{\cos^2 x}{2\cos^2 x-1}(-\sin x)dx$

$=-\int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle\frac{\sqrt 3}{2}}\frac{t^2}{2t^2-1}dt=-\frac{1}{2}\int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt 3}{2}}\frac{2t^2-1+1}{2t^2-1}dt=-\frac{1}{2}\left (\int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt 3}{2}}dt+\int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt 3}{2}}\frac{dt}{2t^2-1} \right )$

$=-\frac{1}{2}\left (\int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt 3}{2}}dt-\frac{1}{2}\int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt 3}{2}}\frac{\sqrt 2t-1-(\sqrt 2t+1)}{(\sqrt 2t-1)(\sqrt 2t+1)} \right )$

$=-\frac{1}{2}\left (\displaystyle \frac{\sqrt {3}}{2}-1-\frac{1}{2}\left ( \int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt 3}{2}}\frac{dt}{\sqrt 2t+1}- \int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt 3}{2}}\frac{dt}{\sqrt 2t-1} \right ) \right )$

$=\boxed{\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\left (\ln\left (\frac{\sqrt{6}}{2}+1 \right )-\ln(\sqrt 2+1)-\ln\left (\frac{\sqrt{6}}{2}-1 \right )+\ln(\sqrt 2-1)\right )}$ .
DẠNG $4$ .

$F(\sin x, \cos x)=\frac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}$
Cách giải : Đặt

$t=\tan \frac{x}{2}$ .
Ví dụ $4$ . Tính tích phân

$I=\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}\frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$ .
Lời giải:
Đặt

$t=\tan \frac{x}{2} \Rightarrow \begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2} \\\sin x=\frac{2t}{1+t^2}; \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \end{cases}.$
Khi

$x=0\Rightarrow t=1; x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=1$ .
Ta có :

$I=\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\displaystyle \frac{8t}{1+t^2}+3\frac{1-t^2}{1+t^2}+5}.\frac{2dt}{1+t^2}=\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+4t+4}=\int\limits_{0}^{1}\frac{d(t+2)}{(t+2)^2}=\boxed{\displaystyle\frac{1}{6}}$ .

Thí dụ $5$ . Tính tích phân
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^n x}{\cos^n x + \sin^n x}dx$
Trong đó $n$ là số nguyên dương.
Đặt $t=\frac{\pi}{2}-x\Rightarrow dx=-dt$
Khi $x=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=0$
Từ đó
$I=-\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{\cos^n \left ( \frac{\pi}{2}-t \right )}{\cos^n \left ( \frac{\pi}{2}-t \right ) + \sin^n \left ( \frac{\pi}{2}-t \right )}dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n t}{\sin^n t + \cos^n t}dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x}dx$
Do đó
$2I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x}dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^n x}{\cos^n x + \sin^n x}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx=\frac{\pi}{2}$
Vậy $I=\boxed{\displaystyle{\frac{\pi}{4}}}$ .
Lời bình : Do cận lấy tích phân có dạng $a=0; b=\frac{\pi}{2}$ , nên các hàm $\sin x$ và $\cos x$ có mối liên hệ của các góc phụ nhau. Trong trường hợp này ta thường dùng phép biến đổi $t=\frac{\pi}{2}-x$ .
Thí dụ $6$ . Tính tích phân
$I=\int\limits_{0}^{3\pi}\sin x.\sin 2x. \sin 3xdx$
Ta có
$I=\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}\sin x.\sin 2x. \sin 3xdx+\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{3\pi}\sin x.\sin 2x. \sin 3xdx       (1)$
Xét tích phân
$J=\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{3\pi}\sin x.\sin 2x. \sin 3xdx$ .
Đặt $t=3\pi-x\Rightarrow dx=-dt$
Khi $x=\frac{3\pi}{2}\Rightarrow t=\frac{3\pi}{2}; x=3\pi \Rightarrow t=0$
Từ đó
$J=-\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{0}\sin (3\pi-t).\sin (6\pi-2t). \sin (9\pi-3t)dt$
$=-\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}\sin t.\sin 2t. \sin 3tdt=-\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}\sin x.\sin 2x. \sin 3xdx       (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được $I=\boxed{0}$ .
Lời bình . Có thể sử dụng kết quả sau đây để suy ra kết quả thí dụ $6$ : Cho hàm $f(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $[0;2a]$ . Khi đó
$\int\limits_{0}^{2a}f(x)dx=\int\limits_{0}^{a}\left ( f(x)+f(2a-x) \right )dx$
Hướng dẫn :
$\int\limits_{0}^{2a}f(x)dx=\int\limits_{0}^{a}f(x)dx+\int\limits_{a}^{2a}f(x)dx$
Đổi biến số $t=2a-x$ trong tích phân thứ hai ở vế phải đẳng thức trên ta được
$\int\limits_{0}^{2a}f(x)dx=\int\limits_{a}^{0}f(2a-t)(-dt)=\int\limits_{0}^{a}f(2a-x)dx,$
từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Tính các tích phân sau
$1.$           $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^6 x dx$ ;
$2.$           $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5} dx$ ;
$3.$           $I=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{\sqrt[4]{\displaystyle{\sin^3 x.\cos^5 x}}}dx$ ;
$4.$           $I=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^3 x+\cos^5 x}{\sin^2 x+ \sin^4 x}dx$ ;
$5.$           $I=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{\sin^2 x.\cos^4 x}dx$ .

Thẻ

Tích phân hàm lượng giác × 102

Tính tích phân bằng... × 175

Lượt xem

48050

Chat chit và chém gió

hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
hoahoa.nhynhay: ..................... 11/5/2018 1:39:52 PM
vinhlyle: hi 11/10/2018 8:03:02 PM
๖ۣۜBossღ: 3:00 AM 11/11/2018 10:17:11 PM
quanghungnguyen256: sao wweb cứ đăng nhập mãi nhĩ, k trả lời đc bài viết nữa 11/30/2018 4:35:45 PM
quanghungnguyen256: web nát r à 11/30/2018 4:36:19 PM
quanghungnguyen256: 11/11/2018 h là 30/11. oi web chắt k ai dùng r hả 11/30/2018 4:36:44 PM
quanghungnguyen256: rofum ngon thế mà sao admin lại k nâng cấp nhỡ 11/30/2018 4:37:07 PM
nguyenlena2611: 12/24/2018 9:24:22 PM
nguyenlena2611: 12/24/2018 9:28:35 PM
Việt EL: ^^ 2/16/2019 8:37:21 PM
Việt EL: he lô he lô 2/16/2019 8:37:34 PM
Việt EL: y sờ e ny guan hiar? 2/16/2019 8:38:15 PM
Việt EL: èo 2/16/2019 8:38:32 PM
Việt EL: éo có ai 2/16/2019 8:40:48 PM
dfgsgsd: Hế lô 2/21/2019 9:52:51 PM
dfgsgsd: Lờ ôn lôn huyền ..... 2/21/2019 9:53:01 PM
dfgsgsd: Cờ ắc cắc nặng.... 2/21/2019 9:53:08 PM
dfgsgsd: Chờ im.... 2/21/2019 9:53:12 PM
dfgsgsd: Dờ ai dai sắc ...... 2/21/2019 9:53:23 PM
dfgsgsd: ờ ưng nưng sắc.... 2/21/2019 9:53:37 PM
dfgsgsd: Mờ inh minh huyền.... đờ ep nặng... trờ ai... quờ a sắc.... đờ i.... 2/21/2019 9:54:11 PM
nln: 2/28/2019 9:02:14 PM
nln: 2/28/2019 9:02:16 PM
nln: 2/28/2019 9:02:18 PM
nln: 2/28/2019 9:02:20 PM
nln: Specialise 2/28/2019 9:51:54 PM
nlnl: But they have since become two much-love 2/28/2019 10:03:10 PM
dhfh: 3/2/2019 9:27:26 PM
๖ۣۜNatsu: allo 3/3/2019 11:39:32 PM
ffhfdh: reyeye 3/5/2019 8:53:26 PM
ffhfdh: ủuutrr 3/5/2019 8:53:29 PM
dgdsgds: ujghjj 3/24/2019 9:12:47 PM
ryyty: ghfghgfhfhgfghgfhgffggfhhghfgh 4/9/2019 9:34:48 PM
gdfgfd: gfjfjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 4/14/2019 9:53:38 PM
gdfgfd: 4/14/2019 9:59:30 PM
fdfddgf: trâm anh 4/17/2019 9:40:50 PM
gfjggg: a lot of advice is available for college leavers 5/10/2019 9:32:12 PM
linhkim2401: 7/3/2019 9:35:43 AM
ddfhfhdff: could you help me do this job 7/23/2019 10:29:49 PM
ddfhfhdff: i don't know how to 7/23/2019 10:30:03 PM
ddfhfhdff: Why you are in my life, why 7/23/2019 10:30:21 PM
ddfhfhdff: Could you help me do this job? I don't know how to get it start 7/23/2019 10:31:45 PM
ddfhfhdff: 7/23/2019 10:32:50 PM
ddfhfhdff: coukd you help me do this job 7/23/2019 10:39:22 PM
ddfhfhdff: i don't know how to get it start 7/23/2019 10:39:38 PM
huy31012002: hú 9/13/2019 10:43:52 PM
huongpha226: hello 11/29/2019 8:22:41 PM
hoangthiennhat29: 4/2/2020 9:48:11 PM
cutein111: . 4/9/2020 9:23:18 PM
cutein111: . 4/9/2020 9:23:19 PM
cutein111: . 4/9/2020 9:23:20 PM
cutein111: . 4/9/2020 9:23:22 PM
cutein111: . 4/9/2020 9:23:23 PM
cutein111: hello 4/9/2020 9:23:30 PM
cutein111: mấy bạn 4/9/2020 9:23:33 PM
cutein111: mấy bạn cần người ... k 4/9/2020 9:23:49 PM
cutein111: mik sẽ là... của bạn 4/9/2020 9:23:58 PM
cutein111: hihi 4/9/2020 9:24:00 PM
cutein111: https://www.youtube.com/watch?v=EgBJmlPo8Xw 4/9/2020 9:24:12 PM
nhdanfr: Hello 9/17/2020 8:34:26 PM
minhthientran594: hi 11/1/2020 10:32:29 AM
giocon123fa: hi mọi ngừi :33 1/31/2021 10:31:56 PM
giocon123fa: 1/31/2021 10:32:46 PM
giocon123fa: không còn ai nữa à? 1/31/2021 10:36:35 PM
giocon123fa: toi phải up cái này lên face để mọi người vào chơi) 1/31/2021 10:42:37 PM
manhleduc712: hí ae 2/23/2021 8:51:42 AM
vaaa: f 3/27/2021 9:40:49 AM
vaaa: fuck 3/27/2021 9:40:57 AM
L.lawiet: l 6/4/2021 1:26:16 PM
tramvin1: . 6/14/2021 8:48:20 PM
dothitam04061986: solo ff ko 7/7/2021 2:47:36 PM
dothitam04061986: ai muốn xem ngực e ko ạ 7/7/2021 2:49:36 PM
dothitam04061986: e nứng 7/7/2021 2:49:52 PM
Phương ^.^: ngủ hết rồi ạ? 7/20/2021 10:16:31 PM
ducanh170208: hi 8/15/2021 10:23:19 AM
ducanh170208: xin chao mọi người 8/15/2021 10:23:39 AM
nguyenkieutrinh: hiu lo m.n 9/14/2021 7:30:55 PM
nguyenngocha651: Xin chào tất cả các bạn 9/20/2021 3:13:46 PM
nguyenngocha651: Có ai onl ko, Ib với mik 9/20/2021 3:14:08 PM
nguyenngocha651: Còn ai on ko ạ 9/20/2021 3:21:34 PM
nguyenngocha651: ai 12 tủi, sinh k9 Ib Iw mik nhố 9/21/2021 10:22:38 AM

Đăng nhập để chém gió cùng mọi người

dvthuat
hoàng anh thọ
nhungtt0312
Xusint
tiendat.tran.79
babylove_yourfriend_1996
thaonguyenxanh1369
hoangthao0794
zzzz1410
watashitipho
HọcTạiNhà
Cá Hêu
peonycherry
phanqk1996
giothienxung
khoaita567
nguyentranthuylinhkt
maimatmet
minh.mai.td
quybalamcam
m_internet001
bangtuyettrangsocola
chizjzj
vuivequa052
haibanh237
sweetmilk1412
panhhuu
mekebinh
Nghịch Thuỷ Hàn
Lone star
LanguaeofLegend
huongduong2603
i_love_you_12387
a ku
heohong_congchua
impossitable111
khanh
๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
huynhhoangphu.10k7
namduong2016
vycreepers
Bảo Phươngg
Yurika Yuki
tinysweets98
Thùy Trang
Hàn Thiên Dii
๖ۣۜConan♥doyleღ
LeQuynh
thithuan27
huhunhh
๖ۣۜDemonღ
nguyenxinh6295
phuc642003
diephuynh2009
Lê Giang
Han Yoon Min
...
thuyvan
Mặt Trời Bé
DoTri69
bac1024578
Hạ Vân
thuong0122
nhakhoahoc43
tuanngo.apd
Đức Vỹ
๖ۣۜCold
Lethu031193
salihova.eldara

Hoctainha.vn sử dụng tốt nhất bằng trình duyệt firefox
Firefox có thể download tại http://www.mozilla.org/vi/firefox/fx/

© 2011 Công ty Cổ phần Trực tuyến Minsoft Việt Nam - Minsoft Online .,JSC.
Giấy xác nhận cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 97/GXN-TTĐT cấp ngày 03/08/2012

ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

Liên quan