I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
$1$. Phân tích hoặc nhóm các phân thức
Ví dụ $1.$ Giải phương trình
$\frac{1}{x^2+5x+4}+\frac{1}{x^2+11x+28}+\frac{1}{x^2+17x+70}=\frac{3}{4x-2}$.
Lời giải :
Điều kiện : $x \notin \left\{ {-10;-7;-4;-1;\frac{1}{2}} \right\}$.
Với điều kiện trên thì phương trình (PT) tương đương với
$\frac{1}{(x+1)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+7)}+\frac{1}{(x+7)(x+10)}=\frac{3}{4x-2}$.
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left (\frac{1}{x+1} -\frac{1}{x+4}\right )+\frac{1}{3}\left (\frac{1}{x+4} -\frac{1}{x+7}\right )+\frac{1}{3}\left (\frac{1}{x+7} -\frac{1}{x+10}\right )=\frac{3}{4x-2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left (\frac{1}{x+1} -\frac{1}{x+4}\right )=\frac{3}{4x-2}$
$\Leftrightarrow x^2+7x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-3\\x=-4 \end{matrix}\right.$
So sánh với các điều kiện ta có PT có nghiệm duy nhất $x=-3$.
Ví dụ $2.$ Giải phương trình
$\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-2}{x+2}+\frac{x-3}{x+3}+\frac{x+4}{x-4}=4$.
Lời giải :
Điều kiện : $x \notin \left\{ {-3;-2;4;1} \right\}$.
Với điều kiện trên thì phương trình tương đương với
$1+\frac{2}{x-1}+1-\frac{4}{x+2}+1-\frac{6}{x+3}+1+\frac{8}{x-4}=4$
$\Leftrightarrow \left (\frac{1}{x-1}+\frac{4}{x-4} \right )-\left (\frac{2}{x+2}+\frac{3}{x+3} \right )=0$
$\Leftrightarrow \frac{5x-8}{(x-1)(x-4)}-\frac{5x+12}{(x+2)(x+3)}=0$
$\Leftrightarrow (5x-8)(x+2)(x+3)-(5x+12)(x-1)(x-4)=0$
$\Leftrightarrow x^2+x-\frac{16}{5}=0$
Kết hợp với điều kiện, PT đã cho có hai nghiệm
$x=\frac{1}{2}\left (-1-\sqrt{\frac{69}{5}}\right )$ và $x=\frac{1}{2}\left (-1+\sqrt{\frac{69}{5}}\right ).$
Ví dụ $3.$ Giải phương trình
$\frac{1}{2008x+1}-\frac{1}{2009x+2}=\frac{1}{2010x+4}-\frac{1}{2011x+5}$.
Lời giải :
Điều kiện : $x \notin \left\{ {-\frac{1}{2008};-\frac{2}{2009};-\frac{4}{2010};-\frac{5}{2011}} \right\}$.
Với điều kiện trên thì phương trình tương đương với
$\frac{1}{2008x+1}+\frac{1}{2011x+5}=\frac{1}{2009x+2}+\frac{1}{2010x+4}$
$\Leftrightarrow \frac{4019x+6}{(2008x+1)(2011x+5)}=\frac{4019x+6}{(2009x+2)(2010x+4)}$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 4019x+6=0\\(2008x+1)(2011x+5)= (2009x+2)(2010x+4) \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 4019x+6=0\\2x^2+5x+3=0\end{matrix}} \right.$
Kết luận : PT đã cho có ba nghiệm
$x=-\frac{6}{4016};x=-1;x=-\frac{3}{2}$
$2$. Đưa về phương trình bậc cao giải được
Ví dụ $4.$ Giải phương trình
$\frac{2x}{3x^2-5x+2}+\frac{13x}{3x^2+x+2}=6$.
Lời giải :
Điều kiện : $x \notin \left\{ {1;\frac{2}{3}} \right\}$.
Với điều kiện trên thì phương trình (PT) tương đương với
$2x(3x^2+x+2)+13x(3x^2-5x+2)=6(3x^2-5x+2)(3x^2+x+2)$
$\Leftrightarrow 54x^4-117x^3+105x^2-78x+24=0$
$\Leftrightarrow (2x-1)(3x-4)(9x^2-3x+6)=0$
Kết luận : PT đã cho có hai nghiệm $x=\frac{1}{2};x=\frac{3}{4}$.
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
$1$. Đặt một ẩn phụ
Ví dụ $5.$ Giải phương trình
$\frac{x^4+3x^2+1}{x^3+x^2-x}=3$.
Lời giải :
Điều kiện : $x \notin \left\{ {0;\frac{-1\pm \sqrt 5}{2}} \right\}$.
Chia cả tử số và mẫu số ở vế trái cho $x^2$ rồi rút gọn ta được
$\displaystyle \frac{x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2}+3}{x-\displaystyle\frac{1}{x}+1}=3$.
Đặt $t=x-\displaystyle\frac{1}{x}$. PT trên trở thành
$\frac{t^2+5}{t+1}=3\Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=1\\ t=2 \end{matrix}} \right.$
* Với $t=1$ ta có
$x-\displaystyle\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt 5}{2}$.
* Với $t=2$ ta có
$x-\displaystyle\frac{1}{x}=2\Leftrightarrow x^2-2x-1=0\Leftrightarrow x=1\pm \sqrt 2$.
Kết luận : PT đã cho có bốn nghiệm là $x=\frac{1\pm \sqrt 5}{2}; x=1\pm \sqrt 2$.
Ví dụ $6.$ Giải phương trình
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}=15$.
Lời giải :
Điều kiện : $x \notin \left\{ {0;-1} \right\}$.
PT $\Leftrightarrow \frac{x^2+(x+1)^2}{x^2(x+1)^2}=15\Leftrightarrow \left (\frac{1}{x(x+1)} \right )^2+\frac{2}{x(x+1)}=15$
Đặt $t=\frac{1}{x(x+1)}$. PT trên trở thành
$t^2+2t-15=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=3\\ t=-5 \end{matrix}} \right.$
* Với $t=3$, suy ra $3x^2+3x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{-3 \pm \sqrt{21}}{6}$.
* Với $t=-5$, suy ra $5x^2+5x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{-5 \pm \sqrt{5}}{10}$.
Kết luận : PT đã cho có bốn nghiệm là $x=\frac{-3 \pm \sqrt{21}}{6}; x=\frac{-5 \pm \sqrt{5}}{10}$.
$2$. Đặt hai ẩn phụ
Ví dụ $7.$ Giải phương trình
$\left (\frac{x+1}{x-2} \right )^2+\frac{x+1}{x-3}=12\left (\frac{x-2}{x-3} \right )^2$.
Lời giải :
Điều kiện : $x \notin \left\{ {2;3} \right\}$.
Đặt $u=\frac{x+1}{x-2}, v=\frac{x-2}{x-3} $. PT trên trở thành
$u^2+uv=12v^2\Leftrightarrow (u-3v)(u+4v)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} u=3v\\ u=-4v \end{matrix}} \right.$
* Với $u=3v$ ta có
$\frac{x+1}{x-2}=3.\frac{x-2}{x-3} \Leftrightarrow 2x^2-16x+9=0\Leftrightarrow x=\frac{8\pm \sqrt{46}}{2}$.
* Với $u=-4v$ ta có
$\frac{x+1}{x-2}=-4.\frac{x-2}{x-3} \Leftrightarrow 5x^2-12x+19=$. PT này vô nghiệm.
Kết luận : PT đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{8\pm \sqrt{46}}{2}$.
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Ví dụ $8.$ Giải phương trình
$\frac{3}{x^2+x+3}-\frac{4}{x^2+3x+9}=\frac{1}{2x^2}$.
Lời giải :
Điều kiện : $x \ne 0$.
PT đã cho tương đương với
$\frac{4}{x^2+3x+9}+\frac{1}{2x^2}=\frac{3}{x^2+x+3} (*)$
Áp dụng bất đẳng thức $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y} \forall x,y>0$,
đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y} $, ta có
$\frac{4}{x^2+3x+9}+\frac{1}{2x^2} \ge \frac{(2+1)^2}{3x^2+3x+9}=\frac{3}{x^2+x+3} $
Do đó $(*)\Leftrightarrow x^2+3x+9=4x^2\Leftrightarrow x^2-x-3=0$.
Kết luận : PT đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$.
IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau
Bài $1$. $\frac{1}{4x-2006}+\frac{1}{5x+2004}=\frac{1}{5x-2007}-\frac{1}{6x-2005}$
Bài $2$. $\frac{x^2}{(x+2)^2}=3x^2-6x-3$
Bài $3$. $x^2+\frac{25x^2}{(x+5)^2}=11$
Bài $4$. $\frac{1}{x^2+9x+20}+\frac{1}{x^2+11x+30}+\frac{1}{x^2+13x+42}=\frac{1}{18}$
|