A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
$1.$ Với $c$ là hằng số, ta có :
$\lim c=c, \lim \frac{1}{n}=0$. Tổng quát $\lim \frac{c}{n^k}=0 (k \ge 1)$.
$2.$ Với $q$ là số thực thỏa mãn $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$.
$3$. Các phép toán trên các dãy có giới hạn hữu hạn (xem định lý $1$, SGK).
$4.$ Phép toán trên dãy số có giới hạn vô cực $(\lim u_n=\pm \infty)$.
$\left.\begin{matrix}\lim u_n=a \\\lim v_n=+\infty \end{matrix}\right\}\Rightarrow \lim \frac{u_n}{v_n}=0$
$\left.\begin{matrix}\lim u_n=a \\\lim v_n=0\\v_n>0 \forall n \ge 0 \end{matrix}\right\}\Rightarrow \lim \frac{u_n}{v_n}=\text{(dấu của a)}\times \infty$.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng $1.$ Giới hạn dãy số $u_n=\frac{f(n)}{g(n)}$, trong đó $f(n), g(n)$ là các đa thức ẩn số $n$.
Cách giải : Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của $n$ có số mũ cao nhất trong dãy $u_n$, sau đó dùng các kết quả nêu trên để tính.
Ví dụ $1.$
Tính $L_1=\lim\frac{3n^3-7n+1}{4n^3-3n^2+2}$
Lời giải :
Khi $n \to \infty$ thì $n \ne 0$ nên chia cả tử và mẫu của $\lim\frac{3n^3-7n+1}{4n^3-3n^2+2}$ cho $n^3$ ta được:
$L_1=\lim \frac{\displaystyle{\frac{3n^3}{n^3}-\frac{7n}{n^3}+\frac{1}{n^3}}}{\displaystyle{\frac{4n^3}{n^3}-\frac{3n^2}{n^3}+\frac{2}{n^3}}}=\lim
\frac{\displaystyle{3-\frac{7}{n^2}+\frac{1}{n^3}}}{\displaystyle{4-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^3}}}=\frac{3+0+0}{4+0+0}=\frac{3}{4}$
Ghi chú : $\lim \frac{7}{n^2}=\lim \frac{1}{n^3}=\lim \frac{3}{n}=\lim \frac{2}{n^3}=0$
Ví dụ $2.$
Tính $L_2=\lim\frac{3n^7-8n^6+3}{5n^8+n^3+2n}$
Lời giải :
Khi $n \to \infty$ thì $n \ne 0$ nên chia cả tử và mẫu của $\lim\frac{3n^7-8n^6+3}{5n^8+n^3+2n}$ cho $n^8$, là số mũ cao nhất của $n$ có trong giới hạn trên, ta được:
$L_2=\lim
\frac{\displaystyle{\frac{3n^7}{n^8}-\frac{8n^6}{n^8}+\frac{3}{n^8}}}{\displaystyle{\frac{5n^8}{n^8}+\frac{n^3}{n^8}+\frac{2n}{n^8}}}=\lim
\frac{\displaystyle{\frac{3}{n}-\frac{8}{n^2}+\frac{3}{n^8}}}{\displaystyle{5+\frac{1}{n^5}+\frac{2}{n^7}}}=\frac{0+0+0}{5+0+0}=0$
Bài tập áp dụng :
Tính
$L_3=\lim\frac{4n^8+12n-1}{n^2+5n^6-6n^8}$
$L_4=\lim\frac{-3n^5+2n+4}{n^2+4n+3}$
Hướng dẫn:
Đáp số : $L_3=-\frac{2}{3}$.
$L_4=-\infty$.
Dạng $2.$ Giới hạn dãy số $u_n=\frac{f(n)}{g(n)}$, trong đó $f(n), g(n)$ là các biểu thức chứa căn.
Cách giải :
Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của $n$ có số mũ cao
nhất trong dãy $u_n$, sau đó dùng các kết quả nêu trên để tính.
Quy ước :
Biểu thức $\sqrt{a_kx^k+a_{x-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0}$ có bậc $\frac{k}{2}$.
Biểu thức $\sqrt[3]{a_kx^k+a_{x-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0}$ có bậc $\frac{k}{3}$.
Ví dụ $1.$
Tính $L_1=\lim\frac{n+\sqrt{n^2+2n+3}}{3-\sqrt{2n^2+1}}$
Lời giải :
Nhận xét :
$\sqrt{n^2+2n+3}$ có bậc $\frac{2}{2}=1$; $n$ có bậc $1$ nên bậc cao nhất của $n$ trong $n+\sqrt{n^2+2n+3}$ là $1$.
$\sqrt{2n^2+1}$ có bậc $\frac{2}{2}=1$; nên bậc cao nhất của $n$ trong $3-\sqrt{2n^2+1}$ là $1$.
Vậy ta chia cả tử và mẫu cho $n^1=n=\sqrt{n^2}$ để tính.
Ta có :
$L_1=\lim
\frac{\displaystyle{\frac{n}{n}-\frac{\sqrt{n^2+2n+3}}{n}}}{\displaystyle{\frac{3}{n}-\frac{\sqrt{2n^2+1}}{n}}}=\lim
\frac{\displaystyle{1+\sqrt{\frac{n^2+2n+3}{n^2}}}}{\displaystyle{\frac{3}{n}+\sqrt{\frac{2n^2+1}{n^2}}}}=\lim\frac{\displaystyle{1+\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}}}{\displaystyle{\frac{3}{n}+\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}}}=\frac{1+\sqrt{1+0+0}}{0-\sqrt{2+0}}=-\sqrt
2$
Ví dụ $2.$
Tính $L_2=\lim\frac{2n+\sqrt{n^3+3n+2}}{1+n\sqrt{3n+4}}$
Lời giải :
Nhận xét :
$\sqrt{n^3+3n+2}$ có bậc $\frac{3}{2}=1,5$; $2n$ có bậc $1$ nên bậc cao nhất của $n$ trong $2n+\sqrt{n^3+3n+2}$ là $1,5$.
$n\sqrt{3n+4}=\sqrt{3n^3+4n^2}$ có bậc $\frac{3}{2}=1$; nên bậc cao nhất của $n$ trong $1+n\sqrt{3n+4}$ là $1,5$.
Vậy ta chia cả tử và mẫu cho $\sqrt{n^3}$ để tính.
Ta có :
$L_2=\lim
\frac{\displaystyle{\frac{2n}{\sqrt{n^3}}+\frac{\sqrt{n^3+3n+2}}{\sqrt{n^3}}}}{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n^3}}+\frac{n\sqrt{3n+4}}{\sqrt{n^3}}}}=\lim
\frac{\displaystyle{2\sqrt{\frac{n^2}{n^3}}+\sqrt{\frac{n^3+3n+2}{n^3}}}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{n^3}}+\sqrt{\frac{3n^3+4n^2}{n^3}}}}=\lim\frac{\displaystyle{2\sqrt{\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n^3}}}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{n^3}}+\sqrt{3+\frac{4}{n}}}}=\frac{2.\sqrt
0+\sqrt{1+0+0}}{\sqrt 0+\sqrt{3+0}}=\frac{1}{\sqrt 3}$
Bài tập áp dụng :
Tính
$L_3=\lim\frac{n\sqrt{n^2+n+1}}{3n^2-2n+12}$
$L_4=\lim\frac{\sqrt[3]{-3n^7+2n+1}}{n^2+3n+7}$
Hướng dẫn:
Đáp số : $L_3=0$.
$L_4=-\infty$.
Dạng $3.$ Giới hạn dãy số $u_n=\sqrt{f(n)}\pm \sqrt{g(n)}$, trong đó $f(n), g(n)$ là các đa thức ẩn số $n$.
Cách giải :
Sử dụng các phép biến đổi liên hợp như sau :
$\sqrt{f(n)}- \sqrt{g(n)}=\frac{f(n)-g(n)}{\sqrt{f(n)}+\sqrt{g(n)}}$
$\sqrt{f(n)}+ \sqrt{g(n)}=\frac{f(n)-g(n)}{\sqrt{f(n)}-\sqrt{g(n)}}$
Khi đó ta đưa được về dạng $2$.
Ví dụ $1.$
Tính $L_1=\lim\left ( \sqrt{n^2+n+3}-n \right )$
Lời giải :
$L_1=\lim\left
( \sqrt{n^2+n+3}-n \right )=\lim \frac{(n^2+n+3)-n^2}{
\sqrt{n^2+n+3}+n}=\lim \frac{n+3}{ \sqrt{n^2+n+3}+n}=\lim
\frac{\displaystyle{1+\frac{3}{n}}}{\displaystyle{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}+1}}
=\frac{1}{2}$
Ví dụ $2.$
Tính $L_2=\lim\left ( \sqrt{3n^2+2n+1}+n\sqrt 3 \right )$
Lời giải :
$L_2=\lim\left
( \sqrt{3n^2+2n+1}+n\sqrt 3 \right )=\lim \frac{(3n^2+2n+1)-3n^2}{
\sqrt{3n^2+2n+1}-n\sqrt 3}=\lim \frac{2n+1}{ \sqrt{3n^2+2n+1}-n\sqrt
3}=\lim
\frac{\displaystyle{2+\frac{1}{n}}}{\displaystyle{\sqrt{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}-\sqrt
3}} $
Vì $\lim\left (2+\frac{1}{n} \right )=2$ và $\lim\left ( \sqrt{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}-\sqrt 3 \right )=0^+$
Suy ra $L_2=+\infty$
Bài tập áp dụng
Tính
$L_3=\lim\left ( \sqrt{4n^2+n+2}-2n \right )$
$L_4=\lim\left ( \sqrt{n^2+n+7}+n \right )$
Hướng dẫn:
Đáp số : $L_3=\frac{1}{4}$.
$L_4=+\infty$.
Dạng $4.$ Giới hạn dãy số có chứa số mũ là $n$.
Cách giải :
Chúng ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất và sử dụng giới hạn cơ bản
$\lim q^n=0$ nếu $|q|<1$.
Ví dụ $1.$
Tính $L_1=\lim\frac{2^n+4.3^n}{5-7.3^n}$
Lời giải :
Nhận xét rằng trong các lũy thừa $2^n, 3^n$ thì $3^n$ có cơ số bằng $3$ là cơ số lớn nhất.
Vì thế,
$L_1=\lim\frac{2^n+4.3^n}{5-7.3^n}=\lim\frac{\displaystyle{\frac{2^n}{3^n}+4.\frac{3^n}{3^n}}}{\displaystyle{5.\frac{1^n}{3^n}-7.\frac{3^n}{3^n}}}=\lim\frac{\displaystyle{\left
(\frac{2}{3} \right )^n+4}}{\displaystyle{\left (5.\frac{1}{3} \right
)^n-7}}=-\frac{4}{7}$
Chú ý rằng vì $\left| {\frac{2}{3}}
\right|<1; \left| {\frac{1}{3}} \right|<1$ nên $\lim\left
(\frac{2}{3} \right )^n=\lim\left (\frac{1}{3} \right )^n=0$
Ví dụ $2.$
Tính $L_2=\lim\frac{3.2^n+4}{4.3^n-5.4^n}$
Lời giải :
Nhận xét rằng trong các lũy thừa $2^n, 3^n,4^n$ thì $4^n$ có cơ số bằng $4$ là cơ số lớn nhất.
Vì thế,
$L_2=\lim\frac{3.2^n+4}{4.3^n-5.4^n}=\lim\frac{\displaystyle{3.\frac{2^n}{4^n}+4.\frac{1^n}{4^n}}}{\displaystyle{4.\frac{3^n}{4^n}-5.\frac{4^n}{4^n}}}=\lim\frac{\displaystyle{\left
(3.\frac{1}{2} \right )^n+4.\left
(\frac{1}{4} \right )^n}}{\displaystyle{4.\left (\frac{3}{4} \right
)^n-5}}=\frac{3.0+4.0}{4.0-5}=0$
Chú ý rằng vì $\left| {\frac{1}{2}}
\right|<1; \left| {\frac{3}{4}} \right|<1$ nên $\lim\left
(\frac{1}{2} \right )^n=\lim\left (\frac{3}{4} \right )^n=\lim\left (\frac{1}{4} \right )^n=0$
Bài tập áp dụng
Tính
$L_3=\lim\frac{2+5^n}{4^n-6.5^n}$
$L_4=\lim\frac{3.2^n-5.7^n}{4^n+3.5^n}$
Hướng dẫn:
Đáp số : $L_3=-\frac{1}{6}$.
$L_4=-\infty$.
|