A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
$1.$ Với $c$ là hằng số, ta có :
$\lim c=c, \lim \frac{1}{n}=0$. Tổng quát $\lim \frac{c}{n^k}=0     (k \ge 1)$.
$2.$ Với $q$ là số thực thỏa mãn $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$.
$3$. Các phép toán trên các dãy có giới hạn hữu hạn (xem định lý $1$, SGK).
$4.$ Phép toán trên dãy số có giới hạn vô cực $(\lim u_n=\pm \infty)$.
$\left.\begin{matrix}\lim u_n=a \\\lim v_n=+\infty \end{matrix}\right\}\Rightarrow \lim \frac{u_n}{v_n}=0$
$\left.\begin{matrix}\lim u_n=a \\\lim v_n=0\\v_n>0  \forall n \ge 0 \end{matrix}\right\}\Rightarrow \lim \frac{u_n}{v_n}=\text{(dấu của a)}\times \infty$.

B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng $1.$
Giới hạn dãy số $u_n=\frac{f(n)}{g(n)}$, trong đó $f(n), g(n)$ là các đa thức ẩn số $n$.
Cách giải : Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của $n$ có số mũ cao nhất trong dãy $u_n$, sau đó dùng các kết quả nêu trên để tính.
Ví dụ $1.$
Tính $L_1=\lim\frac{3n^3-7n+1}{4n^3-3n^2+2}$
Lời giải :
Khi $n \to \infty$ thì $n \ne 0$ nên chia cả tử và mẫu của $\lim\frac{3n^3-7n+1}{4n^3-3n^2+2}$ cho $n^3$ ta được:
$L_1=\lim \frac{\displaystyle{\frac{3n^3}{n^3}-\frac{7n}{n^3}+\frac{1}{n^3}}}{\displaystyle{\frac{4n^3}{n^3}-\frac{3n^2}{n^3}+\frac{2}{n^3}}}=\lim \frac{\displaystyle{3-\frac{7}{n^2}+\frac{1}{n^3}}}{\displaystyle{4-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^3}}}=\frac{3+0+0}{4+0+0}=\frac{3}{4}$
Ghi chú : $\lim \frac{7}{n^2}=\lim \frac{1}{n^3}=\lim \frac{3}{n}=\lim \frac{2}{n^3}=0$
Ví dụ $2.$
Tính $L_2=\lim\frac{3n^7-8n^6+3}{5n^8+n^3+2n}$
Lời giải :
Khi $n \to \infty$ thì $n \ne 0$ nên chia cả tử và mẫu của $\lim\frac{3n^7-8n^6+3}{5n^8+n^3+2n}$ cho $n^8$, là số mũ cao nhất của $n$ có trong giới hạn trên, ta được:
$L_2=\lim \frac{\displaystyle{\frac{3n^7}{n^8}-\frac{8n^6}{n^8}+\frac{3}{n^8}}}{\displaystyle{\frac{5n^8}{n^8}+\frac{n^3}{n^8}+\frac{2n}{n^8}}}=\lim \frac{\displaystyle{\frac{3}{n}-\frac{8}{n^2}+\frac{3}{n^8}}}{\displaystyle{5+\frac{1}{n^5}+\frac{2}{n^7}}}=\frac{0+0+0}{5+0+0}=0$
Bài tập áp dụng :
Tính
$L_3=\lim\frac{4n^8+12n-1}{n^2+5n^6-6n^8}$
$L_4=\lim\frac{-3n^5+2n+4}{n^2+4n+3}$
Hướng dẫn:
Đáp số : $L_3=-\frac{2}{3}$.
               $L_4=-\infty$.

Dạng $2.$ Giới hạn dãy số $u_n=\frac{f(n)}{g(n)}$, trong đó $f(n), g(n)$ là các biểu thức chứa căn.
Cách giải : Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của $n$ có số mũ cao nhất trong dãy $u_n$, sau đó dùng các kết quả nêu trên để tính.
Quy ước :
Biểu thức $\sqrt{a_kx^k+a_{x-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0}$ có bậc $\frac{k}{2}$.
Biểu thức $\sqrt[3]{a_kx^k+a_{x-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0}$ có bậc $\frac{k}{3}$.
Ví dụ $1.$
Tính $L_1=\lim\frac{n+\sqrt{n^2+2n+3}}{3-\sqrt{2n^2+1}}$
Lời giải :
Nhận xét :
$\sqrt{n^2+2n+3}$ có bậc $\frac{2}{2}=1$; $n$ có bậc $1$ nên bậc cao nhất của $n$ trong $n+\sqrt{n^2+2n+3}$ là $1$.
$\sqrt{2n^2+1}$ có bậc $\frac{2}{2}=1$; nên bậc cao nhất của $n$ trong $3-\sqrt{2n^2+1}$ là $1$.
Vậy ta chia cả tử và mẫu cho $n^1=n=\sqrt{n^2}$ để tính.
Ta có :
$L_1=\lim \frac{\displaystyle{\frac{n}{n}-\frac{\sqrt{n^2+2n+3}}{n}}}{\displaystyle{\frac{3}{n}-\frac{\sqrt{2n^2+1}}{n}}}=\lim \frac{\displaystyle{1+\sqrt{\frac{n^2+2n+3}{n^2}}}}{\displaystyle{\frac{3}{n}+\sqrt{\frac{2n^2+1}{n^2}}}}=\lim\frac{\displaystyle{1+\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}}}{\displaystyle{\frac{3}{n}+\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}}}=\frac{1+\sqrt{1+0+0}}{0-\sqrt{2+0}}=-\sqrt 2$
Ví dụ $2.$
Tính $L_2=\lim\frac{2n+\sqrt{n^3+3n+2}}{1+n\sqrt{3n+4}}$
Lời giải :
Nhận xét :
$\sqrt{n^3+3n+2}$ có bậc $\frac{3}{2}=1,5$; $2n$ có bậc $1$ nên bậc cao nhất của $n$ trong $2n+\sqrt{n^3+3n+2}$ là $1,5$.
$n\sqrt{3n+4}=\sqrt{3n^3+4n^2}$ có bậc $\frac{3}{2}=1$; nên bậc cao nhất của $n$ trong $1+n\sqrt{3n+4}$ là $1,5$.
Vậy ta chia cả tử và mẫu cho $\sqrt{n^3}$ để tính.
Ta có :
$L_2=\lim \frac{\displaystyle{\frac{2n}{\sqrt{n^3}}+\frac{\sqrt{n^3+3n+2}}{\sqrt{n^3}}}}{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n^3}}+\frac{n\sqrt{3n+4}}{\sqrt{n^3}}}}=\lim \frac{\displaystyle{2\sqrt{\frac{n^2}{n^3}}+\sqrt{\frac{n^3+3n+2}{n^3}}}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{n^3}}+\sqrt{\frac{3n^3+4n^2}{n^3}}}}=\lim\frac{\displaystyle{2\sqrt{\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n^3}}}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{n^3}}+\sqrt{3+\frac{4}{n}}}}=\frac{2.\sqrt 0+\sqrt{1+0+0}}{\sqrt 0+\sqrt{3+0}}=\frac{1}{\sqrt 3}$
Bài tập áp dụng :
Tính
$L_3=\lim\frac{n\sqrt{n^2+n+1}}{3n^2-2n+12}$
$L_4=\lim\frac{\sqrt[3]{-3n^7+2n+1}}{n^2+3n+7}$
Hướng dẫn:
Đáp số : $L_3=0$.
               $L_4=-\infty$.

Dạng $3.$ Giới hạn dãy số $u_n=\sqrt{f(n)}\pm \sqrt{g(n)}$, trong đó $f(n), g(n)$ là các đa thức ẩn số $n$.
Cách giải :
Sử dụng các phép biến đổi liên hợp như sau :
$\sqrt{f(n)}- \sqrt{g(n)}=\frac{f(n)-g(n)}{\sqrt{f(n)}+\sqrt{g(n)}}$
$\sqrt{f(n)}+ \sqrt{g(n)}=\frac{f(n)-g(n)}{\sqrt{f(n)}-\sqrt{g(n)}}$
Khi đó ta đưa được về dạng $2$.
Ví dụ $1.$
Tính $L_1=\lim\left ( \sqrt{n^2+n+3}-n \right )$
Lời giải :
$L_1=\lim\left ( \sqrt{n^2+n+3}-n \right )=\lim \frac{(n^2+n+3)-n^2}{ \sqrt{n^2+n+3}+n}=\lim \frac{n+3}{ \sqrt{n^2+n+3}+n}=\lim \frac{\displaystyle{1+\frac{3}{n}}}{\displaystyle{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}+1}} =\frac{1}{2}$
Ví dụ $2.$
Tính $L_2=\lim\left ( \sqrt{3n^2+2n+1}+n\sqrt 3 \right )$
Lời giải :
$L_2=\lim\left ( \sqrt{3n^2+2n+1}+n\sqrt 3 \right )=\lim \frac{(3n^2+2n+1)-3n^2}{ \sqrt{3n^2+2n+1}-n\sqrt 3}=\lim \frac{2n+1}{ \sqrt{3n^2+2n+1}-n\sqrt 3}=\lim \frac{\displaystyle{2+\frac{1}{n}}}{\displaystyle{\sqrt{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}-\sqrt 3}} $
Vì $\lim\left (2+\frac{1}{n} \right )=2$ và $\lim\left ( \sqrt{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}-\sqrt 3 \right )=0^+$
Suy ra $L_2=+\infty$
Bài tập áp dụng
 
Tính
$L_3=\lim\left ( \sqrt{4n^2+n+2}-2n \right )$
$L_4=\lim\left ( \sqrt{n^2+n+7}+n \right )$
Hướng dẫn:
Đáp số : $L_3=\frac{1}{4}$.
               $L_4=+\infty$.

Dạng $4.$ Giới hạn dãy số có chứa số mũ là $n$.
Cách giải :
Chúng ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất và sử dụng giới hạn cơ bản
$\lim q^n=0$ nếu $|q|<1$.
Ví dụ $1.$
Tính $L_1=\lim\frac{2^n+4.3^n}{5-7.3^n}$
Lời giải :
Nhận xét rằng trong các lũy thừa $2^n, 3^n$ thì $3^n$ có cơ số bằng $3$ là cơ số lớn nhất.
Vì thế,
$L_1=\lim\frac{2^n+4.3^n}{5-7.3^n}=\lim\frac{\displaystyle{\frac{2^n}{3^n}+4.\frac{3^n}{3^n}}}{\displaystyle{5.\frac{1^n}{3^n}-7.\frac{3^n}{3^n}}}=\lim\frac{\displaystyle{\left (\frac{2}{3} \right )^n+4}}{\displaystyle{\left (5.\frac{1}{3} \right )^n-7}}=-\frac{4}{7}$
Chú ý rằng vì $\left| {\frac{2}{3}} \right|<1; \left| {\frac{1}{3}} \right|<1$ nên $\lim\left (\frac{2}{3} \right )^n=\lim\left (\frac{1}{3} \right )^n=0$
Ví dụ $2.$
Tính $L_2=\lim\frac{3.2^n+4}{4.3^n-5.4^n}$
Lời giải :
Nhận xét rằng trong các lũy thừa $2^n, 3^n,4^n$ thì $4^n$ có cơ số bằng $4$ là cơ số lớn nhất.
Vì thế,
$L_2=\lim\frac{3.2^n+4}{4.3^n-5.4^n}=\lim\frac{\displaystyle{3.\frac{2^n}{4^n}+4.\frac{1^n}{4^n}}}{\displaystyle{4.\frac{3^n}{4^n}-5.\frac{4^n}{4^n}}}=\lim\frac{\displaystyle{\left (3.\frac{1}{2} \right )^n+4.\left (\frac{1}{4} \right )^n}}{\displaystyle{4.\left (\frac{3}{4} \right )^n-5}}=\frac{3.0+4.0}{4.0-5}=0$
Chú ý rằng vì $\left| {\frac{1}{2}} \right|<1; \left| {\frac{3}{4}} \right|<1$ nên $\lim\left (\frac{1}{2} \right )^n=\lim\left (\frac{3}{4} \right )^n=\lim\left (\frac{1}{4} \right )^n=0$
Bài tập áp dụng
 
Tính
$L_3=\lim\frac{2+5^n}{4^n-6.5^n}$
$L_4=\lim\frac{3.2^n-5.7^n}{4^n+3.5^n}$
Hướng dẫn:
Đáp số : $L_3=-\frac{1}{6}$.
               $L_4=-\infty$.

quá ư là chuẩn tanks ad –  trainamdan749 02-04-13 09:31 PM
bai nay hay that :) –  tranngocthuytien96 12-01-13 09:07 PM
Chat chit và chém gió
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:46 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:47 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:48 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:49 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: . 11/5/2018 1:39:50 PM
  • hoahoa.nhynhay: ..................... 11/5/2018 1:39:52 PM
  • vinhlyle: hi 11/10/2018 8:03:02 PM
  • ๖ۣۜBossღ: 3:00 AM 11/11/2018 10:17:11 PM
  • quanghungnguyen256: sao wweb cứ đăng nhập mãi nhĩ, k trả lời đc bài viết nữa 11/30/2018 4:35:45 PM
  • quanghungnguyen256: web nát r à 11/30/2018 4:36:19 PM
  • quanghungnguyen256: 11/11/2018 h là 30/11. oi web chắt k ai dùng r hả 11/30/2018 4:36:44 PM
  • quanghungnguyen256: rofum ngon thế mà sao admin lại k nâng cấp nhỡ 11/30/2018 4:37:07 PM
  • nguyenlena2611: talk_to_the_hand 12/24/2018 9:24:22 PM
  • nguyenlena2611: big_grinsurpriseblushing 12/24/2018 9:28:35 PM
  • Việt EL: ^^ 2/16/2019 8:37:21 PM
  • Việt EL: he lô he lô 2/16/2019 8:37:34 PM
  • Việt EL: y sờ e ny guan hiar? 2/16/2019 8:38:15 PM
  • Việt EL: èo 2/16/2019 8:38:32 PM
  • Việt EL: éo có ai 2/16/2019 8:40:48 PM
  • dfgsgsd: Hế lô 2/21/2019 9:52:51 PM
  • dfgsgsd: Lờ ôn lôn huyền ..... 2/21/2019 9:53:01 PM
  • dfgsgsd: Cờ ắc cắc nặng.... 2/21/2019 9:53:08 PM
  • dfgsgsd: Chờ im.... 2/21/2019 9:53:12 PM
  • dfgsgsd: Dờ ai dai sắc ...... 2/21/2019 9:53:23 PM
  • dfgsgsd: ờ ưng nưng sắc.... 2/21/2019 9:53:37 PM
  • dfgsgsd: Mờ inh minh huyền.... đờ ep nặng... trờ ai... quờ a sắc.... đờ i.... 2/21/2019 9:54:11 PM
  • nln: winking 2/28/2019 9:02:14 PM
  • nln: big_grin 2/28/2019 9:02:16 PM
  • nln: smug 2/28/2019 9:02:18 PM
  • nln: talk_to_the_hand 2/28/2019 9:02:20 PM
  • nln: Specialise 2/28/2019 9:51:54 PM
  • nlnl: But they have since become two much-love 2/28/2019 10:03:10 PM
  • dhfh: sad 3/2/2019 9:27:26 PM
  • ๖ۣۜNatsu: allo 3/3/2019 11:39:32 PM
  • ffhfdh: reyeye 3/5/2019 8:53:26 PM
  • ffhfdh: ủuutrr 3/5/2019 8:53:29 PM
  • dgdsgds: ujghjj 3/24/2019 9:12:47 PM
  • ryyty: ghfghgfhfhgfghgfhgffggfhhghfgh 4/9/2019 9:34:48 PM
  • gdfgfd: gfjfjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 4/14/2019 9:53:38 PM
  • gdfgfd: sadsadsadsadsadsad 4/14/2019 9:59:30 PM
  • fdfddgf: trâm anh 4/17/2019 9:40:50 PM
  • gfjggg: a lot of advice is available for college leavers 5/10/2019 9:32:12 PM
  • linhkim2401: big_hug 7/3/2019 9:35:43 AM
  • ddfhfhdff: could you help me do this job 7/23/2019 10:29:49 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to 7/23/2019 10:30:03 PM
  • ddfhfhdff: Why you are in my life, why 7/23/2019 10:30:21 PM
  • ddfhfhdff: Could you help me do this job? I don't know how to get it start 7/23/2019 10:31:45 PM
  • ddfhfhdff: big_grinwhistling 7/23/2019 10:32:50 PM
  • ddfhfhdff: coukd you help me do this job 7/23/2019 10:39:22 PM
  • ddfhfhdff: i don't know how to get it start 7/23/2019 10:39:38 PM
  • huy31012002:9/13/2019 10:43:52 PM
  • huongpha226: hello 11/29/2019 8:22:41 PM
  • hoangthiennhat29: pig 4/2/2020 9:48:11 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:18 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:19 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:20 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:22 PM
  • cutein111: . 4/9/2020 9:23:23 PM
  • cutein111: hello 4/9/2020 9:23:30 PM
  • cutein111: mấy bạn 4/9/2020 9:23:33 PM
  • cutein111: mấy bạn cần người ... k 4/9/2020 9:23:49 PM
  • cutein111: mik sẽ là... của bạn 4/9/2020 9:23:58 PM
  • cutein111: hihi 4/9/2020 9:24:00 PM
  • cutein111: https://www.youtube.com/watch?v=EgBJmlPo8Xw 4/9/2020 9:24:12 PM
  • nhdanfr: Hello 9/17/2020 8:34:26 PM
  • minhthientran594: hi 11/1/2020 10:32:29 AM
  • giocon123fa: hi mọi ngừi :33 1/31/2021 10:31:56 PM
  • giocon123fa: call_me 1/31/2021 10:32:46 PM
  • giocon123fa: không còn ai nữa à? 1/31/2021 10:36:35 PM
  • giocon123fa: toi phải up cái này lên face để mọi người vào chơilaughing) 1/31/2021 10:42:37 PM
  • manhleduc712: hí ae 2/23/2021 8:51:42 AM
  • vaaa: f 3/27/2021 9:40:49 AM
  • vaaa: fuck 3/27/2021 9:40:57 AM
  • L.lawiet: l 6/4/2021 1:26:16 PM
  • tramvin1: . 6/14/2021 8:48:20 PM
  • dothitam04061986: solo ff ko 7/7/2021 2:47:36 PM
  • dothitam04061986: ai muốn xem ngực e ko ạ 7/7/2021 2:49:36 PM
  • dothitam04061986: e nứng 7/7/2021 2:49:52 PM
  • Phương ^.^: ngủ hết rồi ạ? 7/20/2021 10:16:31 PM
  • ducanh170208: hi 8/15/2021 10:23:19 AM
  • ducanh170208: xin chao mọi người 8/15/2021 10:23:39 AM
  • nguyenkieutrinh: hiu lo m.n 9/14/2021 7:30:55 PM
  • nguyenngocha651: Xin chào tất cả các bạn 9/20/2021 3:13:46 PM
  • nguyenngocha651: Có ai onl ko, Ib với mik 9/20/2021 3:14:08 PM
  • nguyenngocha651: Còn ai on ko ạ 9/20/2021 3:21:34 PM
  • nguyenngocha651: ai 12 tủi, sinh k9 Ib Iw mik nhố 9/21/2021 10:22:38 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • dvthuat
  • hoàng anh thọ
  • nhungtt0312
  • Xusint
  • tiendat.tran.79
  • babylove_yourfriend_1996
  • thaonguyenxanh1369
  • hoangthao0794
  • zzzz1410
  • watashitipho
  • HọcTạiNhà
  • Cá Hêu
  • peonycherry
  • phanqk1996
  • giothienxung
  • khoaita567
  • nguyentranthuylinhkt
  • maimatmet
  • minh.mai.td
  • quybalamcam
  • m_internet001
  • bangtuyettrangsocola
  • chizjzj
  • vuivequa052
  • haibanh237
  • sweetmilk1412
  • panhhuu
  • mekebinh
  • Nghịch Thuỷ Hàn
  • Lone star
  • LanguaeofLegend
  • huongduong2603
  • i_love_you_12387
  • a ku
  • heohong_congchua
  • impossitable111
  • khanh
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • huynhhoangphu.10k7
  • namduong2016
  • vycreepers
  • Bảo Phươngg
  • Yurika Yuki
  • tinysweets98
  • Thùy Trang
  • Hàn Thiên Dii
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • LeQuynh
  • thithuan27
  • huhunhh
  • ๖ۣۜDemonღ
  • nguyenxinh6295
  • phuc642003
  • diephuynh2009
  • Lê Giang
  • Han Yoon Min
  • ...
  • thuyvan
  • Mặt Trời Bé
  • DoTri69
  • bac1024578
  • Hạ Vân
  • thuong0122
  • nhakhoahoc43
  • tuanngo.apd
  • Đức Vỹ
  • ๖ۣۜCold
  • Lethu031193
  • salihova.eldara