Công thức tổng quát : $f^{\displaystyle (n)}(x)=\left[ {f^{\displaystyle (n-1)}(x)} \right]^\prime$
Phương pháp :
+ Tính đạo hàm cấp $1,2,3,\cdots$ từ đó suy ra công thức tổng quát của đạo hàm cấp $n$.
+ Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức tổng quát tren đúng.
Ví dụ $1.$ Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y = \cos x$.
Lời giải :
Ta có : $y'=-\sin x=\cos \left ( x+\frac{\pi}{2} \right )$
$y''=(-\sin x)'=-\cos x=\cos (x+\pi)$
$y'''=\sin x=\cos \left ( x+\frac{3\pi}{2} \right )$
$\cdots$
Dự đoán : $y^{\displaystyle (n)}=\cos \left ( x+\frac{n\pi}{2} \right )$ với $n \in \mathbb{N}$.
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp :
Với $n=1 : y'=\cos \left ( x+\frac{\pi}{2} \right )=-\sin x\Rightarrow $ công thức đúng với $n=1$.
Giả sử công thức đúng với $n=k : y^{\displaystyle (k)}=\cos \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )$
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n=k+1$
nghĩa là $y^{\displaystyle (k+1)}=\cos \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right )$
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp $n$ ta được :
$y^{\displaystyle (k+1)}(x)=\left[ {y^{\displaystyle (k)}(x)} \right]^\prime=\left[ { \cos \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )} \right]^\prime=-\sin \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )=\cos \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right )$.
Vậy $y^{\displaystyle (k+1)}=\cos \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right )$ luôn đúng.
Do đó : $y^{\displaystyle (n)}=\cos \left ( x+\frac{n\pi}{2} \right )$ với $n \in \mathbb{N}$.
Ví dụ $2.$ Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y = \frac{1}{x+1}$.
Lời giải :
Ta có : $y'=-\frac{1}{(x+1)^2}=-(x+1)^{-2}$
$y''=2(x+1)^{-3}$
$y'''=-2.3(x+1)^{-4}$
$\cdots$
Dự
đoán : $y^{\displaystyle
(n)}=(-1)^n.n!.(x+1)^{-(n+1)}=\displaystyle
\frac{(-1)^n.n!}{(x+1)^{n+1}}$ với $n \in \mathbb{N}$.
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp :
Với $n=1 : y'=-\frac{1}{(x+1)^2}=-(x+1)^{-2} \Rightarrow $ công thức đúng với $n=1$.
Giả sử công thức đúng với $n=k : y^{\displaystyle (k)}=(-1)^k.k!.(x+1)^{-(k+1)}=\displaystyle \frac{(-1)^k.k!}{(x+1)^{k+1}}$
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n=k+1$
nghĩa là $ y^{\displaystyle (k+1)}=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x+1)^{-(k+2)}=\displaystyle \frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x+1)^{k+2}}$
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp $n$ ta được :
$y^{\displaystyle
(k+1)}(x)=\left[ {y^{\displaystyle (k)}(x)} \right]^\prime=\left[
{(-1)^k.k!.(x+1)^{-(k+1)} }
\right]^\prime=-(-1)^k.k!(k+1)(x+1)^{-(k+1)-1}$
$=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x+1)^{-(k+2)}=\displaystyle \frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x+1)^{k+2}}$.
Vậy $ y^{\displaystyle (k+1)}=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x+1)^{-(k+2)}=\displaystyle \frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x+1)^{k+2}}$ luôn đúng.
Do
đó : $y^{\displaystyle (n)}=(-1)^n.n!.(x+1)^{-(n+1)}=\displaystyle
\frac{(-1)^n.n!}{(x+1)^{n+1}}$ với $n \in \mathbb{N}$.
Ví dụ $3.$ Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y = \frac{2x+1}{x^2-4x+3}$.
Lời giải :
Phân tích : $y = \frac{2x+1}{x^2-4x+3}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-3}$.
$\Leftrightarrow 2x+1=(a+b)x-3a-b$
Cân bằng hệ số hai vế ta được :
$\Leftrightarrow \begin{cases}a+b=2 \\ -3a-b=1
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=-\frac{3}{2} \\ b=\frac{7}{2}
\end{cases}$
$\Rightarrow y = \frac{2x+1}{x^2-4x+3}=-\frac{3}{2}.\frac{1}{x-1}+\frac{7}{2}.\frac{b}{x-3}$
Đặt $y_1=\frac{1}{x-1}$ và $y_2=\frac{1}{x-3}$.
Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y_1$.
Ta có : $y'_1=-\frac{1}{(x-1)^2}=-(x-1)^{-2}$
$y''_1=2(x-1)^{-3}$
$y'''_1=-2.3(x-1)^{-4}$
$\cdots$
Dự
đoán : $y_1^{\displaystyle
(n)}=(-1)^n.n!.(x-1)^{-(n+1)}=\displaystyle
\frac{(-1)^n.n!}{(x-1)^{n+1}}$ với $n \in \mathbb{N}$.
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp :
Với $n=1 : y'_1=-\frac{1}{(x-1)^2}=-(x-1)^{-2} \Rightarrow $ công thức đúng với $n=1$.
Giả sử công thức đúng với $n=k : y_1^{\displaystyle (k)}=(-1)^k.k!.(x-1)^{-(k+1)}=\displaystyle \frac{(-1)^k.k!}{(x-1)^{k+1}}$
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n=k+1$
nghĩa là $ y_1^{\displaystyle (k+1)}=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x-1)^{-(k+2)}=\displaystyle \frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x-1)^{k+2}}$
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp $n$ ta được :
$y_1^{\displaystyle
(k+1)}(x)=\left[ {y_1^{\displaystyle (k)}(x)} \right]^\prime=\left[
{(-1)^k.k!.(x-1)^{-(k+1)} }
\right]^\prime=-(-1)^k.k!(k+1)(x-1)^{-(k+1)-1}$
$=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x-1)^{-(k+2)}=\displaystyle \frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x-1)^{k+2}}$.
Vậy $ y_1^{\displaystyle (k+1)}=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x-1)^{-(k+2)}=\displaystyle \frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x-1)^{k+2}}$ luôn đúng.
Do
đó : $y_1^{\displaystyle (n)}=(-1)^n.n!.(x-1)^{-(n+1)}=\displaystyle
\frac{(-1)^n.n!}{(x-1)^{n+1}}$ với $n \in \mathbb{N}$.
Tính tương tự như trên ta cũng được :
$y_2^{\displaystyle (n)}=(-1)^n.n!.(x-3)^{-(n+1)}=\displaystyle \frac{(-1)^n.n!}{(x-3)^{n+1}}$
Vậy
$y^{\displaystyle (n)}=-\frac{3}{2}.y_1^{\displaystyle (n)}+\frac{7}{2}.y_2^{\displaystyle (n)}$
$y^{\displaystyle (n)}=(-1)^n.n!.\left[ {-\frac{3}{2}. \frac{1}{(x-1)^{n+1}}+\frac{7}{2}. \frac{1}{(x-3)^{n+1}}} \right]$
Bài tập tự giải :
$1.$ Tính đạo hàm cấp $n$ của các hàm số sau :
a. $y=\sin x$
b. $y=\frac{1}{2-x}$
c. $y=e^x+e^{-x}$
d. $y=\lg x$
$2.$ Chứng minh rằng hàm số $y=e^{-x^2}$ thỏa mãn hệ thức :
$y^{\displaystyle (n)}+2xy^{\displaystyle (n-1)}+2(n-1)y^{\displaystyle (n-2)}=0$
|