1.Tập hợp
Tập hợp
là 1 khái niệm cơ bản của Toán học. Ta hiểu khái niệm tập hợp qua các ví dụ
như: Tập hợp tất cả các học sinh lớp 10 của trường em, tập hợp các số nguyên tố…
Thông thường mỗi tập hợp gồm các phần tử chung có chung 1 hay 1 vài tính chất
nào đó
Nếu a
là phần tử của tập hợp X, ta viết $a \in X$.
Nếu a không phải là phần tử của X, ta viết $a
\notin X$.
Ta thường
cho một tập hợp bằng hai cách sau đây
1, Liệt
kê các phần tử của tập hợp
2, Chỉ
rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp
2. Tập con và tập hợp bằng nhau
a, Tập con
Tập A
được gọi là tập con của tập B và kí hiệu là $A
\subset B$ nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B
$A
\subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x,x \in A \Rightarrow x \in B}
\right)$
Từ định nghĩa tập con, dễ thấy
có tính chất bắc cầu sau:
$(A
\subset B\,\& B \subset C) \Rightarrow (A \subset C)$
Dễ thấy mỗi tập hợp là tập
con của chính nó
b, Tập hợp bằng nhau
Hai tập
hợp $A$ và $B$ được gọi là bằng nhau và ký hiệu $A =B $ nếu mỗi phần tử của $A$ là một phần
tử của $B$ và mỗi phần tử của $B$ cũng là một phần tử của $A$.
Từ định
nghĩa này ta có
$ A =
B \Leftrightarrow $ $(A\subset B)$ và $ (B \subset A)$
Hai tập hợp A và B không bằng
nhau ( khác nhau ) được kí hiệu là :
$A \neq B $
c, Biểu đồ Ven
Các tập
hợp có thể được minh họa trực quan bằng hình vẽ nhờ biểu đồ Ven do nhà toán học
người Anh Giôn Ven lần đầu đưa ra vào năm 1981
Trong
biểu đồ Ven, người ta dùng những hình giới hạn bởi 1 đường khép kín để biểu diễn
tập hợp.
Ví dụ
1:Chúng ta đã biết tập hợp số nguyên dương ${N^*}$,
tập hợp số tự nhiên $N$, tập hợp số
nguyên $Z$, tập hợp số hữu tỉ $Q$, và tập hợp số thực $R$
Ta có
các quan hệ sau:
${N^*}
\subset N \subset Z \subset Q \subset R$
Ta có hình vẽ:
3. Các phép toán trên tập hợp
a, Phép hợp
Hợp của
hai tập hợp $A$ và $B$, ký hiệu là $A \cup B$,
là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$
$A
\cup B = ${$ x | x \in A$ hoặc $ x\in B$}
Hình
1.2 trang 19
b, Phép giao
Giao của
hai tập hợp A và B, kí hiệu là $A \cap B$,
là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B.
$A
\cap B =$ { $x|x \in A$ và $x \in B$}
Nếu 2 tập hợp $A$ và $B$ không
có phần tử chung, nghĩa là
$A
\cap B = \emptyset $ thì ta gọi $A$ và $B$ là 2 tập hợp rời nhau
Ví dụ:
Cho nửa khoảng $A = (0;2]$ và đoạn $B = [1;4] $. Ta có: $A \cap B = [1;2]$
c, Phép lấy phần bù
Cho A
là tập con của tập E. Phần bù của A trong E, ký hiệu là ${\mathbb{C}_E}A$, là tập hợp cả các phần tử của
E mà không là phần tử của A.
CHÚ Ý:
Với hai
tập hợp A, B bất kỳ, người ta còn xét hiệu của hai tập hợp A và B
Hiệu của
hai tập hợp A và B, ký hiệu là $A\backslash B$,
là tập hợp bao nhiêu gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B
$A\backslash B = \left\{ {x|x \in A\,\& \,x
\notin B} \right\}$