1. Khái niệm bất phương trình một ẩn
ĐỊNH NGHĨA
Cho hai hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ có tập xác định lần lượt là ${D_f}$ và ${D_g}$. Đặt $D = {D_f} \cap {D_g}$. Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng $f\left( x \right) < g\left( x \right)$, $f\left( x \right) > g\left( x \right)$, $f\left( x \right) \leqslant g\left( x \right)$, $f\left( x \right) \geqslant g\left( x \right)$ được gọi là bất phương trình một ẩn; x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của bất phương trình đó.
Số ${x_0} \in D$ gọi là một nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) < g\left( x \right)$, nếu $f(x_{0} ) < g(x_{0} )$ là mệnh đề đúng.
CHÚ Ý
Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác định $D$ của bất kỳ phương trình mà chỉ cần nêu điều kiện để $x \in D$. Điều kiện đó gọi là điều kiện xác định của bất phương trình, gọi tắt là điều kiện bất phương trình.
2. Bất phương trình tương đương
ĐỊNH NGHĨA
Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Nếu $f_{1}(x) < g_{1}(x) $ tương đương với $f_{2}(x) < g_{2}(x) $ thì ta viết
$f_{1}(x) < g_{1}(x) \Leftrightarrow f_{2}(x) < g_{2}(x) $
CHÚ Ý
Khi muốn nhấn mạnh hai bất phương trình có cùng tập xác định $D$ (hay có cùng điều kiện xác định mà ta cũng kí hiệu $D$) và tương đương với nhau, ta nói:
- Hai bất phương trình tương đương trên $D$ hoặc
- Với điều kiện $D$, hai bất phương trình là tương đương với nhau.
3. Biến đổi tương đương các bất phương trình
Phép biến đổi tương đương biến một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó.
ĐỊNH LÝ
Cho bất phương trình $f\left( x \right) < g\left( x \right)$có tập xác định $D$, $y = h\left( x \right)$là một hàm số xác định trên $D$.
Khi đó, trên $D$, bất phương trình $f\left( x \right) < g\left( x \right)$tương đương với mỗi bất phương trình:
1) $f\left( x \right) + h\left( x \right) < g\left( x \right) + h\left( x \right);$
2) $f\left( x \right)h\left( x \right) < g\left( x \right)h\left( x \right);$nếu $h(x) > 0$ với mọi $x \in D$
3) $f\left( x \right)h\left( x \right) > g\left( x \right)h\left( x \right);$nếu $h(x) < 0$ với mọi $x \in D$
HỆ QUẢ
Cho bất phương trình $f\left( x \right) < g\left( x \right)$có tập xác định trên D.
1) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc ba
$f\left( x \right) < g\left( x \right) \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^3} < {\left[ {g\left( x \right)} \right]^3}$
2) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai
Nếu f(x) và g(x) không âm với mọi x thuộc D thì
$f\left( x \right) < g\left( x \right) \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} < {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}$
|