|
|
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng $ax + b < 0$
Kết quả giải và biện luận bất phương trình $ax + b < 0$ (1)
Được nêu trong bảng sau đây:
1, Nếu a > 0 thì (1) $ \Leftrightarrow x < - \frac{b}{a}$. Vậy tập nghiệm của (1) là $S = \left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right)$
2, Nếu a < 0 thì (1) $ \Leftrightarrow x > - \frac{b}{a}$. Vậy tập nghiệm của (1) là $S = \left( { - \frac{b}{a}; + \infty } \right)$
3, Nếu a = 0 thì (1) $ \Leftrightarrow 0x < - b$. Do đó:
- Bất phương trình (1) vô nghiệm $\left( {S = \emptyset } \right)$nếu $b \geqslant 0$
- Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x $\left( {S = \mathbb{R}} \right)$ nếu b<0
CHÚ Ý
Việc biểu diễn các tập nghiệm trên trục số sẽ rất có ích sau này. Chẳng hạn, phần không bị gạch ở trên hình vẽ biểu diễn tập nghiệm của (1) với a>0.
Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình
$$mx + 1 > x + {m^2} (2)$$
Giải: Bất phương trình (2) tương đương với
$$ (m - 1)x > {m^2} - 1 (3) $$
Ta có
1, Nếu m > 1 thì m – 1 > 0 nên (3) $ \Leftrightarrow x > \frac{{{m^2} - 1}}{{m - 1}} \Leftrightarrow x > m + 1$
2, Nếu m < 1 thì m – 1 < 0 nên (3) $ \Leftrightarrow x < \frac{{{m^2} - 1}}{{m - 1}} \Leftrightarrow x < m + 1$
3, Nếu m = 1 thì bất phương trình trở thành 0x > 0 nên nó vô nghiệm
Kết luận:
- Nếu $m > 1$ thì tập nghiệm của (2) là $S = (m + 1; + \infty )$
- Nếu $m < 1$ thì tập nghiệm của (2) là $S = ( - \infty ;m + 1)$
- Nếu $m = 1$ thì tập nghiệm của (2) là $S = \emptyset $
2. Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Tương tự như hệ phương trình, tập nghiệm của một hệ bất phương trình là giao của tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
Do đó,
Muốn giải hệ bất phương trình một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.
Ví dụ:
Giải hệ bất phương trình: $(I)\,\,\left\{ \begin{gathered}
3x - 5 \leqslant 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6) \\
2x + 3 \geqslant 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7) \\
x + 1 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(8) \\
\end{gathered} \right.$
Giải: Giải lần lượt từng BPT của hệ ta được:
Tập nghiệm của (6) là ${S_1} = ( - \infty ;\frac{5}{3}]$
Tập nghiệm của (7) là ${S_2} =[ -\frac{3}{2}; + \infty )$
Tập nghiệm của (8) là ${S_3} = ( - 1; + \infty )$
Vậy tập nghiệm của hệ BPT đã cho là:
$S = {S_1} \cap {S_2} \cap {S_3} = ( - 1;\frac{5}{3} ]$
CHÚ Ý
Để dễ xác định tập nghiệm S, ta biểu diễn các tập nghiệm trên trục số bằng cách gạch đi các điểm (phần) không thuộc tập nghiệm của từng bất phương trình trong hệ, phần còn lại sẽ biểu diễn tập nghiệm cần tìm:
|