|
|
1. Định nghĩa và cách giải
ĐỊNH NGHĨA
Bất phương trình bất hai (ẩn x) là bất phương trình có một trong các dạng $f(x) > 0,f(x) < 0,f(x) \leqslant 0,f(x) \geqslant 0$ trong đó f(x) một tam thức bậc hai.
Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Ví dụ: Giải bất phương trình
$$2{x^2} - 3x + 1 > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Giải: Tam thức bậc hai $2{x^2} - 3x + 1$ có 2 nghiệm ${x_1} = \frac{1}{2}\& {x_2} = 1$ và có hệ số $a = 2 > 0$ nên: $2{x^2} - 3x + 1 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}$ hoặc $x > 1$
Vậy tập nghiệm của (1) là: $( - \infty ;\frac{1}{2}) \cup (1; + \infty )$
2. Bất phương trình tích và bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
$$\frac{{2{x^2} + 3x - 2}}{{{x^2} - 5x + 6}} \geqslant 0$$
Giải: Ta xét dấu của biểu thức
$f(x) = \frac{{2{x^2} + 3x - 2}}{{{x^2} - 5x + 6}}$
Tử thức là tam thức bậc hai có hai nghiệm -2 và $\frac{1}{2}$
Mẫu thức là tam thức bậc hai có hai nghiệm là 2 và 3
Dấu của f(x) được cho trong bảng sau
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
$$\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2};2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$$
3. Hệ bất phương trình bậc hai
Ví dụ 4: Giải hệ bất phương trình
$(I)\left\{ \begin{gathered}
3{x^2} - 7x + 2 > 0 \\
- 2{x^2} + x + 3 > 0 \\
\end{gathered} \right.$
Cách giải
Muốn giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn, ta giải riêng từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm tìm được.
Bất phương trình thứ nhất có tập nghiệm $S_{1}=(-\infty;\frac{1}{3}) \cup (2;+\infty ) $
Bất phương trình thứ hai có tập nghiệm ${S_2} = \left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)$
Muốn tìm ${S_1} \cap {S_2}$, ta có thể biểu diễn các tập này trên trục số bằng cách lần lượt gạch bỏ các phần không thuộc S1 và các phần không thuộc S2. Phần còn lại không bị gạch là $S = {S_1} \cap {S_2}$
Từ đó suy ra tập nghiệm của hệ là $S = \left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)$
|