1. Công thức cộng đối với sin và cos
a, Với mọi góc lượng giác $\alpha $,$\beta $ ta có
$\begin{gathered}
c{\text{os}}(\alpha - \beta ) = c{\text{os}}\alpha c{\text{os}}\beta + \sin \alpha \sin \beta \\
c{\text{os}}(\alpha + \beta ) = c{\text{os}}\alpha c{\text{os}}\beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha c{\text{os}}\beta - c{\text{os}}\alpha \sin \beta \\
\sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha c{\text{os}}\beta + c{\text{os}}\alpha \sin \beta \\
\\
\end{gathered} $
b, Công thức cộng đối với tang
Ta có
$\begin{gathered}
\tan (\alpha - \beta ) = \frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha \tan \beta }} \\
\tan (\alpha + \beta ) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} \\
\end{gathered} $
Với mọi $\alpha $,$\beta $ làm cho các biểu thức có nghĩa
2. Công thức nhân đôi
Trong các công thức cộng nói trên, đặt $\alpha $=$\beta $thì được các công thức sau đây goi là các công thức nhân đôi
$\begin{gathered}
c{\text{os}}2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \\
\sin 2\alpha = 2\sin \alpha c{\text{os}}\alpha \\
\tan 2\alpha = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }} \\
\end{gathered} $
(Trong công thức cuối $\alpha \ne \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\alpha \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$)
CHÚ Ý
Từ trên ta suy ra
${\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + c{\text{os}}2\alpha }}{2};\,\,{\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - c{\text{os}}2\alpha }}{2}$
Các công thức này gọi là các công thức hạ bậc. (Chúng cho phép biến đổi các biểu thức của ${\cos ^2}\alpha ,\,\,{\sin ^2}\alpha $ thành biểu thức của cos 2$\alpha $)
3. Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích
a, Công thức biến đổi tích thành tổng
Sử dụng công thức cộng, ta dễ dàng suy ra các công thức sau đây gọi là công thức biến đổi tích thành tổng.
$\begin{gathered}
c{\text{os}}\alpha c{\text{os}}\beta = \frac{1}{2}\left[ {c{\text{os}}(\alpha + \beta ) + c{\text{os}}(\alpha - \beta } \right] \\
\sin \alpha \sin \beta = - \frac{1}{2}\left[ {c{\text{os}}(\alpha + \beta ) - c{\text{os}}(\alpha - \beta } \right] \\
\sin \alpha c{\text{os}}\beta = \frac{1}{2}\left[ {{\text{sin}}(\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta } \right] \\
\end{gathered} $
b, Công thức biến đổi tổng thành tích
Trong các công thức biến đổi tích thành tổng trên đây, nếu đặt $\alpha $+$\beta $ = x, $\alpha $-$\beta $ = y (tức là $\alpha = \frac{{x + y}}{2};\beta = \frac{{x - y}}{2}$) thì ta suy ra được các công thức sau đây gọi là công thức biến đổi tổng thành tích.
$\begin{gathered}
c{\text{osx + }}c{\text{osy}} = 2c{\text{os}}\frac{{x + y}}{2}c{\text{os}}\frac{{x - y}}{2} \\
c{\text{osx - }}c{\text{osy}} = - 2\sin \frac{{x + y}}{2}\sin \frac{{x - y}}{2} \\
\operatorname{s} {\text{inx}} + \sin y = 2\sin \frac{{x + y}}{2}c{\text{os}}\frac{{x - y}}{2} \\
\operatorname{s} {\text{inx}} - \sin y = 2c{\text{os}}\frac{{x + y }}{2}\sin \frac{{x - y }}{2} \\
\end{gathered} $
|