1. Ví dụ mở đầu
Nhiều vấn đề của toán học, vật lý, hóa sinh… dẫn đến bài toán tìm giới hạn
limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 trong đó y=f(x) là hàm số nào đó. Trong toán học gọi giới hạn đó, nếu có và hữu hạn, là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0.
2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm
Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng đó.
ĐN: Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số f(x)−f(x0)x−x0 khi x dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0, kí hiệu f′(x0) hoặc y′(x0), nghĩa là
f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
Trong định nghĩa trên, nếu đặt Δx=x−x0,Δy=f(x0+Δx)−f(x0) thì ta có
f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=limΔx→0ΔyΔx
Chú ý: 1) Số Δx=x−x0 được gọi là số gia của biến số tại điểm x0; số Δy=f(x0+Δx)−f(x0) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia Δx tại điểm x0.
2) Số Δx không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
3) Δxvà Δy là những kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: Δxlà tích của Δvới x, Δy là tích của Δ với y.
b) Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa
Muốn tính đạo hàm của hàm số ftại điểm x0 theo định nghĩa, ta thực hiện hai bước sau:
Bước 1: Tính Δy theo công thức Δy=f(x0+Δx)−f(x0), trong đó Δx là số gia đối số của biến số tại x0.
Bước 2: Tìm giới hạn limΔx→0ΔyΔx
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y=x2 tại điểm x0=2.
Giải: Đặt f(x)=x2, ta thực hiện quy tắc trên như sau:
Tính Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=(2+Δx)2−22=Δx(4+Δx)=
Tìm giới hạn: limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(4+Δx)=4⇒f′(2)=4
Nhận xét:
Nếu hàm số y=f(x)có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm x0.
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0(x0;f(x0)).
Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0;f(x0)) có phương trình là : y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3 tại điểm có hoành độ x0=−1.
Giải: Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số f(x)=x3 tại x0=−1
Tính Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=(−1+Δx)3−(−1)3=Δx(3−3Δx+Δx2)
Tính giới hạn:
limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(3−3Δx+Δx2)=3
Vậy f′(−1)=3. Ngoài ra ta có f(x0)=(−1)3=−1 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y=3(x+1)−1⇒y=3x+2
4. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm
Vận tốc tức thời v(t0) tại thời điểm t0( hay vận tốc tại t0) của một chuyển động có phương trình s=s(t) bằng đạo hàm của hàm số s=s(t) tại điểm t0, tức là
v(t0)=s′(t0)
5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
a) Khái niệm
Cho hàm số f xác định trên tập J, trong đó J là một khoảng hoặc là hợp của những khoảng nào đó. Ta có định nghĩa sau đây:
Định nghĩa:
1) Hàm số fgọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f′(x) tại mọi điểm x thuộc J.
2) Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số f′ xác định trên bởi f′:J→Rx→f′(x) gọi là đạo hàm của hàm số f. Đạo hàm của hàm số y=f(x) cũng được kí hiệu bởi y’.
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y=x3 trên khoảng (−∞;+∞)
Giải: Với mọi x thuộc khoảng (−∞;+∞) ta có;
Δy=(x+Δx)3−x3=Δx(3x2+3x.Δx+Δx2);limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(3x2+3x.Δx+Δx2)=3x2
Vậy hàm số y=x3 có đạo hàm trên khoảng (−∞;+∞) và y′=3x2
b) Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Định lí:
a) Hàm số hằng y=c có đạo hàm trên R và y′=0;
b) Hàm số y=x có đạo hàm trên R và y′=1;
c) Hàm số y=xn(n∈N,n⩾2) có đạo hàm trên Rvà y′=nxn−1 ;
d) Hàm số y=√x có đạo hàm trên khoảng (0;+∞) và y′=12√x .
Chú ý: Hàm số y=|x| xác định tại x=0, tuy nhiên người ta chứng minh được rằng nó không có đạo hàm tại điểm x=0.
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y=√x tại điểm x=9
Giải: với y=√x, ta có y′=12√x (Với mọi x∈(0;+∞)). Do đó y′(9)=12√9=16
|