1. Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x}$
Định lí 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$
Nếu hàm số $u = u\left( x \right)$ thỏa mãn các điều kiện: $u\left( x \right) \ne 0$ với mọi $x \ne {x_0}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u\left( x \right) = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin u\left( x \right)}}{{u\left( x \right)}} = 1$
Ví dụ: Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2\left( {\frac{{\sin 2x}}{{2x}}} \right) = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{{2x}} = 2.1 = 2$
2. Đạo hàm của hàm số $y = \operatorname{s} {\text{inx}}$
Định lí 2:
a) Hàm số $y = \operatorname{s} {\text{inx}}$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, và $\left( {\operatorname{s} {\text{inx}}} \right)' = \cos x$.
b) Nếu hàm số $u = u\left( x \right)$ có đạo hàm trên J thì trên J ta có
$\left( {\sin u} \right)' = \left( {c{\text{osu}}} \right).u' = u'\cos u$
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin \left( {{x^3} - x + 2} \right)$
Giải: $\left[ {\sin \left( {{x^3} - x + 2} \right)} \right]' = \left[ {c{\text{os}}\left( {{x^3} - x + 2} \right)} \right].\left( {{x^3} - x + 2} \right)' = \left( {3{x^2} - 1} \right)c{\text{os}}\left( {{x^3} - x + 2} \right)$
3. Đạo hàm của hàm số $y = \cos x$
Định lí 3:
a) Hàm số $y = \cos x$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$và $\left( {\cos x} \right)' = - \operatorname{s} {\text{inx}}$
b) Nếu hàm số $u = u\left( x \right)$ có đạo hàm trên J thì trên J ta có
$\left( {\cos u} \right)' = \left( { - \sin u} \right)u'$
4. Đạo hàm của hàm số $y = \operatorname{t} {\text{anx}}$
Định lí 4:
a) Hàm số $y = \operatorname{t} {\text{anx}}$ có đạo hàm trên mối khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right);\,\,\,\left( {\operatorname{t} {\text{anx}}} \right)' = \frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}x}}$
b)Giả sử hàm số $u = u\left( x \right)$có đạo hàm trên J và $u\left( x \right) \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ với mọi $x \in J$. Khi đó trên J ta có : $\left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}u}}$
Ví dụ: tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt {\operatorname{t} {\text{anx}}} $
Giải: $\left( {\sqrt {\operatorname{t} {\text{anx}}} } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt {\operatorname{t} {\text{anx}}} }}\left( {\operatorname{t} {\text{anx}}} \right)' = \frac{1}{{2\sqrt {\operatorname{t} {\text{anx}}} }}.\frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}x}} = \frac{1}{{2c{\text{o}}{{\text{s}}^2}x\sqrt {\operatorname{t} {\text{anx}}} }}$
Do $\frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x$ nên $\left( {\sqrt {\operatorname{t} {\text{anx}}} } \right)' = \frac{{1 + {{\tan }^2}x}}{{2\sqrt {\operatorname{t} {\text{anx}}} }}$
5. Đạo hàm của hàm số $y = \cot x$
Định lí 5:
a) Hàm số $y = \cot x$ có đạo hàm trên mối khoảng $\left( {k\pi ;\left( {k + 1} \right)\pi } \right)\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$, và
$\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$
b) Giả sử hàm số $u = u\left( x \right)$ có đạo hàm trên J và $u\left( x \right) \ne k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ với mọi $x \in J$. Khi đó trên J ta có: $\left( {\cot u} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}$
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = {\cot ^3}2x$
$\left( {{{\cot }^3}2x} \right)' = 3\left( {{{\cot }^2}2x} \right)\left( {\cot 2x} \right)' = 3\left( {{{\cot }^2}2x} \right)\left( { - \frac{{\left( {2x} \right)'}}{{{{\sin }^2}2x}}} \right) = - \frac{{6{{\cos }^2}2x}}{{{{\sin }^4}2x}}$
Vì $\frac{1}{{{{\sin }^2}2x}} = 1 + {\cot ^2}2x$ nên $\left( {{{\cot }^3}2x} \right)' = - 6\left( {{{\cot }^2}2x} \right)\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right)$
|