1. Vi phân của hàm số tại một điểm
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0. Khi đó ta có: f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx
Nếu |Δx| khá nhỏ thì tỷ số ΔyΔx rất gần với f′(x0), do đó ta có thể coi rằng f′(x0)≈ΔyΔx⇔Δy≈f′(x0).Δx (1)
Khái niệm: Tích f′(x0)Δx được gọi là vi phân của hàm số y=f(x) tại điểm x0(ứng với số gia Δx) và được kí hiệu là df(x0) tức là
df(x0)=f′(x0)Δx
Ví dụ: Tính vi phân của hàm số f(x)=sinx tại điểm x0=π4 là
df(π4)=f′(π4).Δx=cosπ4.Δx=√22.Δx
2. Ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng
Từ (1) và định nghĩa vi phân của hàm số tại một điểm, ta thấy:
Khi |Δx| khá nhỏ thì số gia của hàm số tại điểm x0 ứng với số gia Δxxấp xỉ bằng vi phân của hàm số tại x0 ứng với số gia Δx đó, tức là
f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx (2)
Ví dụ: tính giá trị của sin30o30′
Do sin30o30′=π6+π360. Áp dụng công thức (2), ta được
f(π6+π360)≈f(π6)+f′(π6).π360,haysin(π6+π360)≈sinπ6+(cosπ6)π360=12+√32.π360≈0,5076⇒sin30o30′=sin(π6+π360)≈0,5076
3. Vi phân của hàm số
Nếu hàm số f có đạo hàm f′ thì tích f′(x)Δx gọi là vi phân của hàm số y=f(x), kí hiệu là df(x)=f′(x)Δx (3)
đặc biệt với hàm y=x, ta có dx=(x)′Δx=Δx. Do đó ta viết (3) dưới dạng: df(x)=f′(x)dxhaydy=y′dx
Ví dụ: d(x3−2x2+1)=(x3−2x2+1)′dx=(3x2−4x)dx=x(3x−4)dx
|