1. Vi phân của hàm số tại một điểm
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0. Khi đó ta có: f′(x0)=lim
Nếu \left| {\Delta x} \right| khá nhỏ thì tỷ số \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} rất gần với f'\left( {{x_0}} \right), do đó ta có thể coi rằng f^{'}(x_{0} ) \approx \frac{\Delta y}{\Delta x} \Leftrightarrow \Delta y \approx f^{'}(x_{0}).\Delta x (1)
Khái niệm: Tích f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x được gọi là vi phân của hàm số y = f\left( x \right) tại điểm {x_0}(ứng với số gia \Delta x) và được kí hiệu là df\left( {{x_0}} \right) tức là
df\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x
Ví dụ: Tính vi phân của hàm số f\left( x \right) = \operatorname{s} {\text{inx}} tại điểm {x_0} = \frac{\pi }{4} là
df\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right).\Delta x = c{\text{os}}\frac{\pi }{4}.\Delta x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\Delta x
2. Ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng
Từ (1) và định nghĩa vi phân của hàm số tại một điểm, ta thấy:
Khi \left| {\Delta x} \right| khá nhỏ thì số gia của hàm số tại điểm {x_0} ứng với số gia \Delta xxấp xỉ bằng vi phân của hàm số tại {x_0} ứng với số gia \Delta x đó, tức là
f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x (2)
Ví dụ: tính giá trị của \sin {30^o}30'
Do \sin {30^o}30' = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{360}}. Áp dụng công thức (2), ta được
\begin{gathered} f\left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{360}}} \right) \approx f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) + f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right).\frac{\pi }{{360}},\,\,\,hay \\ \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{360}}} \right) \approx \sin \frac{\pi }{6} + \left( {c{\text{os}}\frac{\pi }{6}} \right)\frac{\pi }{{360}} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{\pi }{{360}} \approx 0,5076 \\ \Rightarrow \,\,\,\sin {30^o}30' = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{360}}} \right) \approx 0,5076 \\ \end{gathered}
3. Vi phân của hàm số
Nếu hàm số f có đạo hàm f' thì tích f'\left( x \right)\Delta x gọi là vi phân của hàm số y = f\left( x \right), kí hiệu là df\left( x \right) = f'\left( x \right)\Delta x (3)
đặc biệt với hàm y = x, ta có dx = \left( x \right)'\Delta x = \Delta x. Do đó ta viết (3) dưới dạng: df\left( x \right) = f'\left( x \right)dx\,\,\,\,{\text{hay}}\,\,\,\,dy = y'dx
Ví dụ: d\left( {{x^3} - 2{x^2} + 1} \right) = \left( {{x^3} - 2{x^2} + 1} \right)'dx = \left( {3{x^2} - 4x} \right)dx = x\left( {3x - 4} \right)dx
|