1 Định nghĩa và ví dụ
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho a là một số dương khác 1 và b là một số dương. Số thực $\alpha $ để ${a^\alpha } = b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là ${\log _a}b$ tức là
$\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b$
Ví dụ: ${\log _{10}}100$ vì ${10^2} = 100$; ${\log _{10}}\frac{1}{{100}} = - 2$vì ${10^{ - 2}} = \frac{1}{{{{10}^2}}} = \frac{1}{{100}}$
CHÚ Ý
1) Không có lôgarit của 0 và số âm vì ${a^\alpha }$ luôn dương với mọi $\alpha $.
2) Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1
3) Theo định nghĩa lôgarit, ta có
\[\begin{gathered}
{\log _a}1 = 0;{\log _a}a = 1 \\
{\log _a}{a^b} = b;\forall b \in \mathbb{R} \\
{a^{{{\log }_a}b}} = 0;\forall b \in \mathbb{R},b > 0 \\
\end{gathered} \]
2 . Tính chất
a) So sánh hai lôgarit cùng cơ số
ĐỊNH LÍ 1
Cho số dương $a$ khác $1$ và các số dương $b ,c$
1, Khi $a > 1$ thì ${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c$
2, Khi $0 < a < 1$ thì ${\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c$
HỆ QUẢ
Cho số a dương khác 1 và các số dương b , c
1, Khi a > 1 thì ${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b > 1$
2, Khi 0 < a < 1 thì ${\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b < 1$
3, ${\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c$
b) Các quy tắc tính lôgarit
ĐỊNH LÍ 2
Với số a dương khác 1 và các số dương b , c ta có
1) ${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c;$
2) ${\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c;$
3) ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$
CHÚ Ý
Bảng quy nạp ,suy ra rằng với các số dương ${b_1},{b_2},....{b_n},...$ta có
\[{\log _a}\left( {{b_1}{b_2}...{b_n}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2} + ... + {\log _a}{b_n}\]
HỆ QUẢ
Với số a dương 1 ,số dương b và số nguyên dương n , ta có
1) ${\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b;$
2) ${\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b;$
3. Đổi cơ số của lôgarit
ĐỊNH LÍ 3
Với a , b là hai số dương khác 1, và c là số dương, ta có
${\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}$ hay ${\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c$
HỆ QUẢ 1
Với a và b là hai số dương khác 1 , ta có
${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$hay ${\log _a}b.{\log _b}a = 1$
HỆ QUẢ 2
Với a là số dương khác 1 ,c là số dương và $\alpha \ne 0$ , ta có:
\[{\log _{{a^\alpha }}}c = \frac{1}{\alpha }{\log _a}c\]
Nhận xét: Nhờ công thức đổi số logarit, khi biết lôgarit cơ số $\alpha $, ta có thể tính được logarit cơ số bất kỳ. Chẳng hạn, ta có thể tính được các logarit cơ số 2, cơ số 3, theo logarit cơ số 10.
4. Lôgarit thập phân và ứng dụng
ĐỊNH NGHĨA 2
Lôgarit cơ số 10 của một số dương x được gọi lôgarit thập phân của x và kí hiệu là $\log x$(hoặc là lgx)
Lôgarit thập phân có đầy đủ các tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.
Ví dụ :
Để tìm số các chữ số của ${2^{2008}}$ khi viết trong hệ thập phân người ta lấy giá trị gần đúng của log 2 là 0,3010 và được
$\left[ {2008.\log 2} \right] + 1 = \left[ {2008.0,3010} \right] + 1 = \left[ {604,408} \right] + 1 = 605$
|