1. Phương trình cơ bản
- Phương trình mũ cơ bản có dạng ax=m trong đó m là số đã cho. Phương trình này xác định với mọi x.
Nếu m⩽0 thì phương trình ax=m vô nghiệm
Nếu m>0 thì phương trình ax=m có nghiệm duy nhất x=logam. Nói cách khác ∀m∈(0;+∞),ax=m⇔x=logam
- Phương trình logarit cơ bản có dạng logax=m, trong đó m là số đã cho. Điều kiện xác định của phương trình này là x>0.
Với mỗi giá trị tùy ý của m, phương trình logax=mluôn có một nghiệm duy nhất x=am. Nói cách khác
∀m∈(−∞;+∞),logax=m⇔x=am
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ và lôgarit
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
Trong bài trước, ta biết các tính chất
(i) aα=aβ⇔α=β(a≠0)
(ii) Nếu α>0,β>0 thì logaα=logaβ⇔α=β
Áp dụng các tính chất đó, ta có thể giải 1 số dạng phương trình mũ ( hoặc logarit) bằng cách đưa các lũy thừa (hoặc các logarit) trong phương trình về lũy thừa (hoặc logarit) với cùng 1 cơ số.
Ví dụ : Giải phương trình 9x+1=272x+1 (1)
Giải
nhận xét rằng ta có thể đưa hai vế của phương trình về luỹ thừa của cùng cơ số 3
9x+1=272(x+1) và 272x+1=3(3x+1)
Do đó
(1)⇔32(x+1)=33(2x+1)⇔2(x+1)=3(2x+1)⇔−4x−1=0⇔x=−14
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=−14
b)Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ : Giải phương trình 32x+5=3x+2+2
Giải: Ta có thể viết 32x+5=3.32x+4=3.(3x+2)2
Đặt y=3x+2(y>0) thì phương trình đã cho có dạng 3y2=y+2⇔y=1;y=−23, nhưng chỉ có y=1 là thích hợp
Do đó: 32x+5=3x+2+2⇔3x+2=1⇔x=−2
a) Phương pháp lôgarit hoá
Tính chất (ii) đã nêu còn cho phép giải phương trình có hai vế luôn dương bằng cách lấy lôgarit hai vế( theo cùng một cơ số thích hợp nào đó ). Việc làm đó gọi là lôgarit hoá hai vế của phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình 3x−1.2x2=8.4x−2
Giải: Logarit hóa 2 vế theo cơ số 2 ta có:
3x−1.2x2=8.4x−2⇔(x−1)log23+x2=log28+(x−2)log24⇔x2−(2−log23)x+1−log23=0
Phương trình bậc 2 cuối cùng có 2 nghiệm là x=1&x=1−log23. Đó là nghiệm của phương trình đã cho
b) Phương pháp sử dụng tính đồng biến hay nghịch biến của hàm số
Ví dụ: Giải phương trình 2x=2−log3x
Giải:
Dễ thấy x=1 là 1 nghiệm của phương trình
Ta sẽ chứng mình phương trình không còn nghiệm nào khác
Thật vậy, điều kiện xác định của phương trình là x>0. Trên khoảng đó, hàm số y=2x đống biến trong khi hàm số y=2−log3x nghịch biến
Ta xét 2 trường hợp:
-Nếu x>1 thì log3x>0&2x>2. Do đó 2−log3x<2<2x. Suy ra phương trình vô nghiệm
-Nếu 0<x<1 thì log3x<0&2x<2. Do đó 2−log3x>2>2x. Suy ra phương trình vô nghiệm
Tóm lại, phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm x=1
|