1. Căn bậc hai của số phức
ĐỊNH NGHĨA
Cho số phức $\omega $. Mỗi số phức $z$ thỏa mãn ${{\text{z}}^2}{\text{ = }}\omega $ được gọi là một căn bậc hai của $\omega $.
Nói cách khác, mỗi căn bậc 2 của $\omega $ là 1 nghiệm của phương trình ${{\text{z}}^2} - \omega = 0$ với ẩn z
a, Trường hợp $\omega $ là số thực.
Dễ thấy rằng căn bậc hai của 0 là 0.
Xét số thực $\omega = a \ne 0$
Khi $a > 0$ thì ${z^2} - a = (z - \sqrt a )(z + \sqrt a )$. Do đó, ${z^2} - a = 0$ khi và chỉ khi $z = \sqrt a $ hoặc $z = - \sqrt a $ . Vậy a có hai căn bậc hai là $\sqrt a $ và $ - \sqrt a $.
Khi $a < 0$ thì ${z^2} - a = (z - \sqrt { - a} i)(z + \sqrt { - a} i)$. Do đó ${z^2} - a = 0$ khi và chỉ khi $z = \sqrt { - a} i$ hoặc $z = - \sqrt { - a} i$
b, Trường hợp $\begin{gathered}
zz' = rr'{\text{[}}c{\text{os}}(\varphi + \varphi ') + i\sin (\varphi + \varphi ')] \\
\frac{z}{{z'}} = \frac{r}{{r'}}[\cos (\varphi ' - \varphi ) + i\sin (\varphi ' - \varphi )]\,\,\,\,\,\,\,(khi\,\,\,r > 0) \\
\end{gathered} $
${\text{z}} = x + yi\,\,\,\,(x,y \in \mathbb{R})$ là căn bậc hai của $\omega $ khi và chỉ khi ${{\text{z}}^2}{\text{ = }}\omega $, tức là
${\left( {x + yi} \right)^2}{\text{ = a + bi}}$
Do ${\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi$ nên ${{\text{z}}^2}{\text{ = w}}$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{gathered}
{x^2} - {y^2} = a \\
2xy = b \\
\end{gathered} \right.$
Vậy để tìm các căn bậc hai của ${\text{w}} = a + bi$ ta cần giải hệ phương trình này. Mỗi cặp số thực $(x ; y)$ nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ta một căn bậc hai $x + yi$ của số phức $a + bi$.
Một cách tổng quát, ta có thể chứng minh rằng
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0
- Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)
Đặc biệt, số thực a dương có hai căn bậc hai là $\sqrt a $ và $ - \sqrt a $.
Số thực a âm có hai căn bậc hai là $\sqrt { - a} i$ và $ - \sqrt { - a} i$.
2. Phương trình bậc hai
Xét phương trình: $A{z^2} + Bz + C = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Trong đó $A,B,C$ là những số phức, A khác 0
Xét biểu thức $\Delta = {B^2} - 4AC$
- Nếu $\Delta \ne 0$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
${z_1} = \frac{{ - B + \delta }}{{2A}},{z_2} = \frac{{ - B - \delta }}{{2A}}$
Trong đó $\delta $ là một căn bậc hai của $\Delta $
- Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình (1) có nghiệm kép
${z_1} = {z_2} = - \frac{B}{{2A}}$
CHÚ Ý
Trên đây, ta đã thấy mọi phương trình bậc hai (với hệ số phức) có hai nfhiệm phức (có thể trùng nhau). Hơn nữa, người ta còn chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n
${A_0}{z^n} + {A_1}{z^{n - 1}} + ... + {A_{n - 1}}z + {A_n} = 0$
Trong đó n là 1 số nguyên dương, ${A_0},{A_1},...,{A_n}$ là n+1 số phức cho trước (${A_0} \ne 0$) luôn có n nghiệm phức ( không nhất thiết phân biệt)
Tính chất quan trọng này tập hợp các số phức là nội dung của một định lý gọi là Định lý cơ bản của đại số.