1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
ĐỊNH NGHĨA
Vectơ $\overrightarrow u $ khác $\overrightarrow 0 $, có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta $ được gọi là vectơ chỉ phương của $\Delta $.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Điều kiện cần và đủ để M(x; y) thuộc $\Delta $ là có số t sao cho
$\left\{ \begin{gathered}
x = {x_0} + at \\
y = {y_0} + bt \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,({a^2} + {b^2} \ne 0)$ (1)
Hệ (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $, với tham số t.
CHÚ Ý
- Với mỗi giá trị của tham số t , ta tính được x và y từ hệ (1) , tức là có được điểm M(x ;y) nằm trên$\Delta $. Ngược lại , nếu điểm M (x ;y) nằm trên $\Delta $ thì có một số t sao cho x,y thoả mãn hệ (1).
- Trong phương trình tham số $\left\{ \begin{gathered}
x = {x_0} + at \\
y = {y_0} + bt \\
\end{gathered} \right.\,$của đường thẳng, nếu $a \ne 0,b \ne 0$thì bằng cách khử tham số t từ hai phương trình trên ta đi đến
$\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}$ (2)
Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng
Trong trường hợp a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.
VÍ DỤ: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc( nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng trong môi trường hợp sau
a) Đi qua điểm A(1;1) và song song với trục hoành;
b) Đi qua điểm B(2;-1) và song song với trục tung
c) Đi qua điểm C(2;1) và vuông góc với đưồng thẳng d : 5x – 7y +2 =0
GIẢI
a, Đường thẳng cần tính có vectơ chỉ phương $\overrightarrow i = (1;0)$ và đi qua A nên có phương trình tham số$\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + t \\
y = 1 \\
\end{gathered} \right.\,$và phương trình tổng quát là y – 1 = 0
Đường thẳng đó không có phương trình chính tắc
b, Đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương $\overrightarrow j = (0;1)$ nên không có phương trình chính tắc, do đó đường thẳng đó đi qua B nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{gathered}
x = 2 \\
y = - 1 + t \\
\end{gathered} \right.\,$ và phương trình tổng quát là x – 2 = 0
c, Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = (5; - 7)$ của d cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $cần tìm (do$\Delta \bot d$) do đó phương trình tham số của $\Delta $là $\left\{ \begin{gathered}
x = 2 + 5t \\
y = 1 - 7t \\
\end{gathered} \right.\,$và phương trình chính tắc của $\Delta $ là $\frac{{x - 2}}{5} = \frac{{y - 1}}{{ - 7}}$
Từ phương trình chính tắc (hoặc tham số của $\Delta $ ta suy ra được phương trình tổng quát của $\Delta $là7x + 5y -19 = 0.
|