|
|
1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
ĐỊNH NGHĨA 1
Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu có vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó
ĐỊNH LÝ 1
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $(P)$
2, Các tính chất
TÍNH CHẤT 1
Có duy nhất một mặt phẳng$(P)$đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước
TÍNH CHẤT 2
Có duy nhất một đường thẳng $\Delta $đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng $(P)$cho trước.
NHẬN XÉT:
- Mặt phẳng $(P)$nói trong tính chất 1 được xác định bởi hai đường thẳng phân biệt b và c cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a
- Đường thẳng $\Delta $trong tính chất 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng $(Q)$và $(R)$cùng đi qua O và lần lượt vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng $(P)$
- Từ tính chất 1, ta thấy có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Dễ thấy rằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
TÍNH CHẤT 3
a, Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
b, Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 3 được viết gọn là
$\begin{gathered}
\left. \begin{gathered}
a//b \\
\left( P \right) \bot a \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \left( P \right) \bot b \\
\left. \begin{gathered}
a \bot \left( P \right) \\
b \bot \left( P \right) \\
a \ne b \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow a//b \\
\end{gathered} $
TÍNH CHẤT 4
a, Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
b, Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đừong thẳng thì song song với nhau.
Tính chất 4 viết gọn là
$\begin{gathered}
\left. \begin{gathered}
\left( P \right)//\left( Q \right) \\
a \bot \left( P \right) \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow a \bot \left( Q \right) \\
\left. \begin{gathered}
\left( P \right) \bot a \\
\left( Q \right) \bot a \\
\left( P \right) \ne \left( Q \right) \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \left( P \right)//\left( Q \right) \\
\end{gathered} $
Nhận xét
Trong tính chất 3, nếu ta thay các cụm từ “mặt phẳng” thành “đường thẳng”, “đường thẳng” thành “mặt phẳng”, còn các từ khác giữ nguyên thì ta có tính chất 4
TÍNH CHẤT 5
a, Cho đường thẳng a và mặt phẳng $(P)$song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc vơi $(P)$ thì cũng vuông góc với a.
b, Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
Tính chất 5 được viết gọn là
$\begin{gathered}
\left. \begin{gathered}
a//\left( P \right) \\
b \bot \left( P \right) \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow b \bot a \\
\left. \begin{gathered}
a \not\subset \left( P \right) \\
a \bot b \\
\left( P \right) \bot b \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow a//\left( P \right) \\
\end{gathered} $
4. Định lý ba đường vuông góc
ĐỊNH NGHĨA 2
Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương l vuông góc với mặt phẳng $(P)$ gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(P)$.
ĐỊNH LÝ 2
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng b nằm trong $(P)$. Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên $(P)$.
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
ĐỊNH NGHĨA 3
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng $(P)$thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng $(P)$ bằng $90^0$
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng $(P)$thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên $(P)$gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng $(P)$.
Lưu ý rằng góc giữa đường và mặt phẳng không vượt quá ${90^0}$
|