|
|
1. Góc giữa hai mặt phẳng
ĐỊNH NGHĨA
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
CHÚ Ý
Khi hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $\Delta $, để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng $(R)$ vuông góc với $\Delta $, lần lượt cắt $(P)$ và $(Q)$ theo các giao tuyến $p$ và $q$. Lúc đó, góc giữa $(P)$ và $(Q)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $p, q$.
ĐỊNH LÝ 1
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mặt phẳng $(P)$và S’ là diện tích hình chiếu H’của H trên mặt phẳng $(P')$ thì $S' = S.c{\text{os}}\varphi $, trong đó $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(P')$.
2. Hai mặt phẳng vuông góc
ĐỊNH NGHĨA 2
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng ${90^ \circ }$.
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
ĐỊNH LÝ 2
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau
Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
ĐỊNH LÝ 3
Nếu hai mặt phẳng $(P)$và $(Q)$vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong $(P)$, vuông góc với giao tuyến của $(P)$và $(Q)$đều vuông góc với mặt phẳng $(Q)$.
HỆ QUẢ 1
Nếu hai mặt phẳng $(P)$và $(Q)$vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong $(P)$thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với $(Q)$sẽ nằm trong $(P)$
Hệ quả 1 được viết gọn là
$\left. \begin{gathered}
\left( P \right) \bot \left( Q \right) \\
A \in \left( P \right) \\
a \bot \left( Q \right) \\
A \in a \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow a \subset \left( P \right)$
HỆ QUẢ 2
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
Hệ quả 2 được viết gọn là
$\left. \begin{gathered}
\left( P \right) \cap \left( Q \right) \\
\left( P \right) \bot \left( R \right) \\
\left( Q \right) \bot \left( R \right) \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow a \bot \left( R \right)$
HỆ QUẢ 3
Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có duy nhất một mặt phẳng $(Q)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
3. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương
ĐỊNH NGHĨA 3
- Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy
- Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
- Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
- Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật
- Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Bài toán:
Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật khi biết độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh là a, b, c (a, b, c gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật)
Giải
Từ $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} $
Và $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AA'} = 0$
Ta có ${\overrightarrow {AC} ^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}$
Hay $AC' = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
Tương tự các đường chéo còn lại cũng bằng $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
4. Hình chóp đều và hình chóp cụt
ĐỊNH NGHĨA
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Ta biết rằng đối với một hình chóp bất kỳ, đường thẳng vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp.
ĐỊNH NGHĨA 5
Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
Đoạn nối tâm của hai đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều
|