$I=\int\limits_{-1}^{0} \frac{dx}{x^{2} + 2x + 2} = $$\int\limits_{-1}^{0} \frac{dx}{(x+1)^2 +1}$
Đặt $x+1=\tan t \rightarrow dx = \frac{1}{\cos^2 t}dt = (\tan^2 t+1)dt$
Đổi cận: $ x: -1\rightarrow 0$
                $ t: 0\rightarrow \frac{\pi }{4}$

$\rightarrow I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}} \frac{(\tan^2 t+1)dt}{\tan^2 t+1}= \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}} dt=\frac{\pi }{4}$

Giả sử $A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c)$.

Do $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau và $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ suy ra $OH\bot(ABC)$, nên $\overrightarrow{OH}=(2;1;1)$ là một vectơ pháp tuyến của $ABC: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
từ đó ta có $\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=2:1:1$
Hay $b=c=2a$. Như vậy $(P)$ có dạng:
$ \frac{x}{a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{2a}=1   (1)$
Do $(P)$ qua $H(2;1;1)$ nên ta có phương trình:
$ \frac{2}{a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}=1\Rightarrow a=3$.
Vậy phương trình $(P)$ có dạng: $ \frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1$.