Ta có
     $e^{\sin ^{2}x} \sin 4x$
$=e^{\sin ^{2}x} (2\sin 2x\cos 2x)$
$=-2e^{\sin ^{2}x} (2\sin 2x) + (\cos 2x +2)e^{\sin ^{2}x} (2\sin 2x)$
$=e^{\sin ^{2}x} (\cos 2x +2)' + (\cos 2x +2)(e^{\sin ^{2}x} )'$
$=(e^{\sin ^{2}x} (\cos 2x +2))' $

Vậy
$ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin ^{2}x} \sin 4xdx =\left[ {e^{\sin ^{2}x} (\cos 2x +2)} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\boxed{2(e-3)}$

Ta có
$ \dfrac{x +\sin ^{2}x}{1 +\cos2x}= \dfrac{1}{2}.\dfrac{x +1-\cos^2 x}{\cos^2 x}= \dfrac{1}{2}\left[ {-1+\tan x +\dfrac{x }{\cos^2 x} +\dfrac{1 }{\cos^2 x}-\tan x} \right]$
$= \dfrac{1}{2}\left[ {(-x)'+(x \tan x)' +(\tan x)'- (\ln |\cos x|)'} \right]$
 Vậy
 $I= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{x +\sin ^{2}x}{1 +\cos2x}dx = \dfrac{1}{2}\left[ {-x+x \tan x +\tan x- \ln |\cos x|} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}=\boxed{\dfrac{3\sqrt 3+(\sqrt 3 -1)\pi -3\ln 2}{6}}$

Đặt $t=1+x^{2}\Rightarrow $ $\begin{cases}dt=2xdx \\x=1 \rightarrow t=2 \\ x=2 \rightarrow t=5 \end{cases}$
Ta có
$I = \int\limits_{1}^{2} (x^{3} +x)\ln (1+x^{2})dx =\dfrac{1}{2} \int\limits_{2}^{5} t\ln tdt $
Áp dụng công thức tích phân từng phần
Đặt $\begin{cases}u=\ln t \\ v=tdt \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=\dfrac{1}{t}dt \\ v=\dfrac{1}{2}t^2 \end{cases}$
Do đó
$I =\dfrac{1}{2} \int\limits_{2}^{5} t\ln tdt =\dfrac{1}{4}t^2\ln t|_{2}^{5} - \dfrac{1}{4} \int\limits_{2}^{5} tdt =\dfrac{1}{4}\left[ {t^2\ln t-\dfrac{1}{2}t^2} \right]_{2}^{5}=\boxed{-\dfrac{21}{8}-\ln 2 +\dfrac{25}{4}\ln 5}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

b) PT $\Leftrightarrow \cos 2x = \sin 3x \Leftrightarrow \cos 2x =\cos \left ( \frac{\pi }{2}-3x \right )$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{2}-3x+k2\pi \\2x=-\frac{\pi }{2}+3x+k2\pi \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi}{5} \\x=\frac{\pi }{4}-k2\pi \end{matrix}}\right.        (k \in \mathbb{Z})$

Ta biết rằng
$(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Suy ra
$\arcsin x=\arcsin x+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}=(x \arcsin x)'+\left (\sqrt{1-x^2} \right )'$
Vậy
$\int\limits_{0}^{1/2}\arcsin xdx = \left[ {x \arcsin x+\sqrt{1-x^2}} \right]_{0}^{1/2}=\boxed{\dfrac{\sqrt 3-2}{2}+\dfrac{\pi }{12}}$

Câu 7.
Áp dụng BĐT quen thuộc
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x+y},    \forall x,y >0.$
 Ta có 
 $\dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} \ge \dfrac{4}{a+b+2}= \dfrac{4}{3}$, đpcm.
Đẳng  thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Câu 8.
Đặt $A=a^3+(a+1)^3+(a+2)^3 $ là tổng của ba số tự nhiên liên tiếp.
Khai triển và phân tích thành nhân tử ta được $A=3(a+1)(a^2+2a+3) =3(a+1)((a+1)^2+2) $
Như vậy chỉ cần chứng mình $B =(a+1)((a+1)^2+2)   \vdots  3$
Xét các trường hợp
+ $a \equiv 0 \mod 3 \Rightarrow(a+1)^2+2 \equiv 1^2+2 \equiv0 \mod 3 \Rightarrow B \equiv 0 \mod 3\Rightarrow B  \vdots  3$
+ $a \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow(a+1)^2+2 \equiv 2^2+2 \equiv6 \mod 3\Rightarrow B \equiv 0 \mod 3\Rightarrow B  \vdots  3$
+ $a \equiv 2 \mod 3 \Rightarrow(a+1) \equiv2+1 \equiv3 \mod 3 \Rightarrow B \equiv 0 \mod 3\Rightarrow B  \vdots  3$
Vậy ta có đpcm.

Câu 6.
Đặt $A= n(n^2+1)(n^2+4)$
Xét các trường hợp
$n \equiv 0 \mod 5 \Rightarrow A  \vdots  5 $
$n \equiv 1 \mod 5 \Rightarrow n^2 \equiv 1 \mod 5 \Rightarrow n^2+4 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5 \Rightarrow A  \vdots  5 $
$n \equiv 2 \mod 5 \Rightarrow n^2 \equiv 4 \mod 5 \Rightarrow n^2+1 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5 \Rightarrow A  \vdots  5 $
$n \equiv 3 \mod 5 \Rightarrow n^2 \equiv 9 \mod 5 \Rightarrow n^2+1 \equiv 10 \equiv 0 \mod 5 \Rightarrow A  \vdots  5 $
$n \equiv 4 \mod 5 \Rightarrow n^2 \equiv 16 \mod 5 \Rightarrow n^2+4 \equiv 20 \equiv 0 \mod 5 \Rightarrow A  \vdots  5 $
Vậy $A  \vdots  5 $ với mọi $n$.

Câu 5.
Áp dụng BĐT quen thuộc
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b},    \forall a,b >0.$
 Ta có 
 $\dfrac{1}{x+4} + \dfrac{1}{y+4} \ge \dfrac{4}{x+y+8}= \dfrac{4}{16}= \dfrac{1}{4}$
 $A \ge \dfrac{1}{4} $
 Vậy $\min A=  \dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=4$

Từ $x+y=1 \Rightarrow \begin{cases}x-1=-y \\ y-1=-x \end{cases}\Rightarrow (x-1)(y-1)=xy$
Ta có
$B = \left (1-\frac{1}{x^2}\right ) \left (1-\frac{1}{y^2}\right )=\dfrac{(x^2-1)(y^2-1)}{x^2y^2}=\dfrac{ (x-1)(y-1) (x+1)(y+1)}{x^2y^2}$
 $B=\dfrac{ xy (x+1)(y+1)}{x^2y^2}=\dfrac{ (x+1)(y+1)}{xy}=\dfrac{ xy+1+x+y}{xy}=1+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$
 Ta có 
 $xy \le \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{xy} \ge 4$
 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \ge \frac{4}{x+y}=4$
 Vậy $\min B =9 \Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Câu 3. Do $n$ lẻ nên ta có thể đặt $n=2k+1,  k \in \mathbb{N}.$
Ta có
$1^n=1 \equiv 1\mod 8$
$3^n=3^{2k+1}=9^k.3 \equiv 3\mod 8$
$5^n=5^{2k+1}=25^k.5 \equiv 5\mod 8$
$7^n=7^{2k+1}=49^k.7 \equiv 7\mod 8$
Vậy $1^n+3^n+5^n+7^n \equiv 1+3+5+7 \equiv 16\equiv 0\mod 8$
Suy ra đpcm.