1. \(
\begin{cases}\left ( m+1 \right )x-2y= m-1\\ m^{2}x-y=m^{2} +2m\end{cases}
\)
\(
D=-\left ( m+1 \right )+2m^{2}=2m^{2}-m-1=\left ( 2m+1 \right )\left ( m-1 \right )
\)
\(
D_{x}=-m+1+2m^{2}+4m=2m^{2}+3m+1=\left ( 2m+1 \right )\left ( m+1 \right )
\)
\(
D_{y}=\left ( m+1 \right )\left ( m^{2}+2m \right )-m^{2}\left ( m-1 \right )=4m^{2}+2m=2m\left ( 2m+1 \right )
\)
\(
\Rightarrow \) Với \(m\neq \frac{-1}{2}\) và \( m \neq 1
\) hệ có nghiệm
\(
\begin{cases}x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{\left ( 2m+1 \right )\left ( m+1 \right )}{\left ( 2m+1 \right )\left ( m-1 \right )}=\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{1}{m-1} \\ y= \frac{D_{y}}{D}=\frac{2m\left ( 2m+1 \right )}{\left (  m-1\right )\left ( 2m+1 \right )}=\frac{2m}{m-1}=2+\frac{2}{m-1}\end{cases}
\)
\(
\Rightarrow \) Để \( x,y \in \mathbb Z \) thì \( m-1 = \pm1 \Rightarrow m=0, m=2
\)
\(
m-1=\pm 2\Rightarrow m=3, m=-1
\)

Em xem ở đây

Ta có:
\((1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\)
Ta lại có:
\(\left\{ \begin{array}{l}a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\qquad (1)\\ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\qquad (2)\\abc=\sqrt[3]{(abc)^{3}} \end{array} \right. \);
Do áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số $a;b;c\ge 0\Rightarrow (1)$
                                                          $ab;bc;ca\ge 0\Rightarrow (2)$
Vậy: \((1+a)(1+b)(1+c)\geq 1+3\sqrt[3]{(abc)}+3\sqrt[3]{(abc)^2}+\sqrt[3]{(abc)^3}\\
\Leftrightarrow (1+a)(1+b)(1+c)\ge(1+\sqrt[3]{abc})^{3}\).

Vậy ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi
$\left\{ \begin{array}{l} a=b=c\\ ab=bc=ca \end{array} \right.\Rightarrow a=b=c.$

1. Em xem ở đây

Gọi $Ax,Ay$ cắt đường tròn tại $M,N$. Dễ thấy $MD,NB$ là đường kính của đường tròn nên nó đều đi qua $O$. Bài toán trên là trường hợp riêng của Định lý Pascal, em xem lời giải ở đây nhé