b)
$\overrightarrow{AB'}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}$
$\overrightarrow{CD'}= \overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{AA'}-\overrightarrow{AB}$
Suy ra
$\overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{CD'}=-AB^2+AA'^2=0\rightarrow $ đpcm.

a)
$\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{B'D'}= \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$
Suy ra
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'D'}=-AB^2+AD^2=0\rightarrow $ đpcm.

a)
$\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AC'}= \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$
Suy ra
$\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC'}=-AB^2+AD^2=0\rightarrow $ đpcm.

b)
$\overrightarrow{MN}= \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$
$\overrightarrow{CA'}= \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}= -\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$
Suy ra
$\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{CA'}=-AB^2+\dfrac{1}{2}AD^2+\dfrac{1}{2}AA'^2=0\rightarrow $ đpcm.

b)
$\overrightarrow{MN}= \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$
$\overrightarrow{CA'}= \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}= -\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$
Suy ra
$\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{CA'}=-AB^2+\dfrac{1}{2}AD^2+\dfrac{1}{2}AA'^2=0\rightarrow $ đpcm.

a)
$\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AC'}= \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$
Suy ra
$\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC'}=-AB^2+AD^2=0\rightarrow $ đpcm.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

+ Chứng minh $C$ là trung điểm.
Gọi $C\left ( x_0,\dfrac{3x_0+1}{x_0-3} \right )$ là điểm thuộc đồ thị thì PT tiếp tuyến tại $C$ có dạng
$(t): y=y'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{3x_0+1}{x_0-3}$
$(t): y=-\dfrac{10}{(x_0-3)^2}(x-x_0)+\dfrac{3x_0+1}{x_0-3}$
Mặt khác dễ tìm được hai tiệm cận là $x=3, y=3.$
Giao điểm $A$ của $(t)$ với $x=3$ là $A\left ( 3, \dfrac{3x_0+11}{x_0-3} \right )$
Giao điểm $B$ của $(t)$ với $y=3$ là $B\left ( 2x_0-3, 3 \right )$
 Dễ kiểm tra rằng
$\begin{cases}x_A+x_B=2x_C \\ y_A+y_B=2y_C \end{cases}$
Từ đây có đpcm.

a) $(2\cos x-1)(2\sin2x+1)+4\sin\frac{3x}{2}\sin\dfrac{x}{2}=1$
$\Leftrightarrow 4\cos x \sin 2x+2\cos x-2\sin 2x-1-2(\cos 2x -\cos x)=1$
 $\Leftrightarrow 4\cos x \sin 2x+4\cos x-2\sin 2x-2\cos 2x -2=0$
 $\Leftrightarrow 2\cos x (\sin 2x+1)-(\sin 2x+1)-\cos 2x =0$
 $\Leftrightarrow 2\cos x (\sin x+\cos x)^2-(\sin x+\cos x)^2-(\sin x+\cos x)(\cos x- \sin x)=0$
 $\Leftrightarrow  (\sin x+\cos x)(2\cos x\sin x+2\cos^2x-\sin x-\cos x-\cos x+ \sin x)=0$
 $\Leftrightarrow  (\sin x+\cos x)(\cos x\sin x+\cos^2x-2\cos x)=0$
  $\Leftrightarrow  (\sin x+\cos x)\cos x(\sin x+\cos x-2)=0$
 Đến đây đơn giản em tự giải nốt nhé.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Bạn làm thêm một bước nữa là sẽ thấy điều này. Chú ý rằng $k$ là tỉ số của hai độ dài đoạn thẳng nên nó luôn không âm nên
$\frac{x^2+y^2}{x^2+(y-1)^2}=k^2\Leftrightarrow (k^2-1)x^2+k(y-1)^2-y^2=0$
$ \Leftrightarrow (k^2-1)x^2+(k-1)y^2-2ky+k=0\quad (1)$ 
Đến đây ta xét
+ $k=1\Rightarrow $ tập hợp là PT đường thẳng.
+$k \ne 1\Rightarrow $ tập hợp là PT được xác định như $(1)$.

Đặt  $f(x) =2\sqrt{x-4}+\sqrt{8-x}$ với $4 \le x \le 8$.
Ta có $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-4}}-\dfrac{1}{2\sqrt{8-x}}$
Suy ra $f'(x)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{8-x}=\sqrt{x-4} \Leftrightarrow x=36/5$
Lập bảng biến thiên của hàm số này ta được
$\max f(x) =2\sqrt 5 \Leftrightarrow x=36/5$.
$\min f(x) =2 \Leftrightarrow x=4.$

Các gợi ý bên trên đều rất chính xác. Chìa khóa là viết PT đường phân giác của tam giác cân, và lúc này nó chính là đường cao hạ từ $A$. VÀ rõ ràng có hai phân giác (trong và ngoài) nên bài toán có hai đáp số.
PT phân giác (cả trong và ngoài) có dạng
$\dfrac{|2x-y+5|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{|3x+6y-1|}{\sqrt{3^2+6^2}}\Leftrightarrow 3|2x-y+5|=|3x+6y-1|$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 3(2x-y+5)=3+6y-1\\  3(2x-y+5)=-3x-6y+1 \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 3x-9y+16=0\\  9x+3y+14=0 \end{matrix}} \right.$
 Đường thẳng $BC$ qua $M(1,-3)$ vuông góc với $3x-9y+16=0$ có dạng
$3(x-1)+1(y+3)=0\Leftrightarrow 3x+y=0$
Đường thẳng $BC$ qua $M(1,-3)$ vuông góc với $9x+3y+14=0$ có dạng
$1(x-1)-3(y+3)=0\Leftrightarrow x-3y-10=0$
 Vậy hai đường thẳng cần tìm là $3x+y=0$ và $ x-3y-10=0$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết