Lấy m=$\theta (b)$, $n= \theta (a)$. Vì ( a,b ) = 1 nên theo định lý Fecma ta có

                                        $\begin{cases}a^{m}-1= a^{\theta (b)}-1 chia hết cho b\\ b^{m}-1=b^{\theta (a)}-1 chia hết cho a \end{cases}$

                   -> ( a^m – 1)(bⁿ -1 ) chia hết cho ab.

Mặt khác ta lại có : ( a^m -1)(bⁿ -1) = a^mbⁿ  - ( a^m + bⁿ -1).

Theo định lý Fecma ta có

                            a^p $\equiv$ a( mod p). Do a không chia hết cho p nên a^p-1 $\equiv$1( mod p ). Vậy ta chọn b = a^p-2 khi đó ab = a^p-1 $\equiv$1( mod p )