$(1+2x+3x^{2})^{10}$= $((1+2x)+(3x^{2}))^{10}$
Khai triển có số hạng tổng quát là:
$C^{k}_{10}$ . $(1+2x)^{k}$. $(3x^{2})^{10-k}$= $C^{k}_{10}$ .  $C^{n}_{k}$. $1^{k-n}$. $(2x)^{n}$. $(3x^{2})^{10-k}$= $C^{k}_{10}$ .  $C^{n}_{k}$. $1^{k-n}$. $2^{n}$. $3^{10-k}$. $x^{20+n-2k}$
Với n, k thỏa mãn các điều kiện sau: k$\leqslant $10, n$\leqslant $k, 20+n-2k=3
=> (k,n)= $\left\{ {(9,1), (10,3)} \right\}$ 
Vậy hệ số của $x^{3}$ trong khai triển đa thức là: 540+960= 1500 

Gỉa sử đường tròn có tâm là I(x,y)
$\overrightarrow{AI}$(x-3,y-4) => $AI^{2}$ = $(x-3)^{2}+(y-4)^{2}$
$\overrightarrow{BI}$(x-4,y-1) => $BI^{2}$ = $(x-4)^{2}+(y-1)^{2}$
$\overrightarrow{CI}$(x-2,y+3) => $CI^{2}$ = $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}$
$\overrightarrow{DI}$(x+1,y-6) => $DI^{2}$ = $(x+1)^{2}+(y-6)^{2}$
Ta giải hệ 3 phương trình sau:
$AI^{2}=BI^{2}$ => x-3y+4=0
$AI^{2}=CI^{2}$ => x+7y-6=0
$AI^{2}=DI^{2}$ => -2x+y-3=0
=> x=-1, y=1
Vậy A,B,C,D nội tiếp trong đường tròn tâm I(-1,1) (đpcm)
 

Bài này bạn đã hỏi một lần rồi mà :)
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114423/ai-lam-dc-bai-vui-nay

a/ mp(OMN) $\cap $ (SAD)= MN, có MN//AD, mà AD $\in $(ABCD) => Giao tuyến (d) của mp(OMN) với (ABCD) là đường thẳng song song với AD, mà AD// BC => (d)// BC (đpcm)
b/ (d) cắt AB tại Q, CD tại P.
Có PQ qua tâm O và //BC và AD => PQ là đường trung bình của hình bình hành=> P là trung điểm của CD, Q là trung điểm của AB
=> MQ // SB, NP//SC (đpcm)

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Gắn hình vẽ vào hệ trục tọa độ trong không gian sao cho A trùng gốc O, AB trùng Ox, AD trùng Oy, AS trùng Oz
Khị đó, tọa độ các điểm là: A(0,0,0), M(a/2,0,0), C(a,a,0), I(a/2,a/2,a/2)
Ta có : $\overrightarrow{CM}$= (-a/2,-a,0)= (1,2,0)
=> Phương trình CM: x+2y-3a=0
=> d(I, CM)= $\frac{3a}{2\sqrt{5}}$

1995. 1995= (1990+5). (1990+5)= $1990^{2}$+ 10.1990+ 25
1991. 1999= (1990+1).(1990+9)= $1990^{2}$+ 10.1990+ 9
Vậy 1995. 1995 > 1991. 1999

CMR: quá trình lặp $x_{n}$ = cos$(x_{n-1})$ hội tụ $\forall x_{0}\in (-\infty ,+\infty )$

+/ Tìm x sao cho MN có GTNN?
Ta có: MC vuông góc với DC và CC' => MC vuông góc svới (DCC'D')  => MC vuông góc với CN
=> $\Delta$MCN vuông tại C => $MN^{2}= MC^{2}+CN^{2}$
Có: MC= a-x; $CN^{2}=DC^{2}+DN^{2}= a^{2}+x^{2}$ 
=> $MN^{2}$= 2$a^{2}$-2a.x+ 2$x^{2}$= 2. $(a-1/2.x)^{2}$+ 3/2.$x^{2}$
MN nhỏ nhất <=> $MN^{2}$ nhỏ nhất <=> a= 1/2.x
Vậy khi x= 2a thì MN nhận GTNN 

b/ AC= 2.OA= 4; BD= 2.OB= 2

a/ SA qua A(2,0,0), $\overrightarrow{SA}$= (2,0,-$\sqrt{2}$)
BM qua B(0,1,0), $\overrightarrow{BM}$= (-1,-1,$\sqrt{2}$)
Khoảng cách giữa SA và BM là: h= $\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{SA},\overrightarrow{BM}} \right].\overrightarrow{AB}} \right|}{\left[ {\overrightarrow{SA},\overrightarrow{BM}} \right]}$  = $\frac{\sqrt{2}}{8}$
 

Gọi N là trung diểm của BC, gọi O là trọng tâm $\Delta$ABC. Từ O dựng OS vuông góc với mp (ABC)
Trong mp (SAN) kẻ MG vuông góc với SN (1)
Ta có: BC vuông góc với AN
BC vuông góc với SO
=> BC vuông góc với (SAN) => BC vuông góc với MG (2)
(1)(2) => MG vuông góc với mp(SBC) => MG= d(M, (SBC))
Có: $\Delta$SNB vuông tại N=> $SN^{2}$ = $(2\sqrt{2})^{2}- a^{2}$
Có: $\Delta$ ANB vuông tại N => tan A= $\frac{BN}{AN}$ => AN= a/$\sqrt{3}$
Áp dụng hệ thức lượng với $\Delta$SAN: cosASN= $\frac{AS^{2}+SN^{2}-AN^{2}}{2.AS.SN}$= $\frac{4-\frac{a^{2}}{3}}{\sqrt{2}.\sqrt{8-a^{2}}}$ = cosMSG = $\frac{SG}{SM}$ 
=> SG= $\frac{4-\frac{a^{2}}{3}}{\sqrt{2}.\sqrt{8-a^{2}}}$. $\sqrt{2}$= $\frac{4-\frac{a^{2}}{3}}{\sqrt{8-a^{2}}}$
 Ta có: SGM là $\Delta$ vuô ngtại G => $MG^{2}$ = $SM^{2}-SG^{2}$= $\frac{a^{2}/9+ \frac{2a^{2}}{3}}{8- a^{2}}$
 => MG= $\sqrt{\frac{a^{2}/9+ \frac{2a^{2}}{3}}{8- a^{2}}}$ 

b/ Các bộ phận B,C,D có diện tích bằng nhau, A có diện tích gấp đôi B và máy bay bị trúng  viên đạn
Xác suất để 1 viên đạn trúng vào một bộ phận A,B,C,D lần lượt là: 0,4; 0,2; 0,2; 0,2
+) TH1: 2 viên đạn trúng vào cùng một bộ phận
P(A)+p(B)+P(C)+P(D)= 2.P(A)+3.P(B)= $0,4^{2}$ + 3. $0,2^{2}$= 0,28
+) TH2: 2 viên đạn trúng vào 2 bộ phận liền kề nhau
P(AB)+P(BA)+P(BC)+P(CB)+P(CD)+P(DC)
= 2. P(AB)+ 4. P(BC)
= 2.0,4.0,2+ 4.0,2.0,2= 0,32
Vậy xác suất để máy bay rơi là: 0,28+0,32= 0,6