a/ Gọi G là trung điểm của AB.
=> Góc giữa (SAB) và (ABCD) là $\widehat{SGO}$= $60^{0}$
Xét $\Delta$SOG vuông tại O có: SO= GO. tan$60^{0}$= a$\sqrt{3}$
=> $V_{S.ABCD}$= 1/3. SO. $S_{ABCD}$= $\frac{4\sqrt{3}a^{3}}{3}$
Trong mp(SAC) gọi H= SO$\cap $CI
Trong mp(SBD) qua H kẻ MN //BD. Khi đó mp(CMIN) chính là mp qua CI và // BD
Ta có: $\frac{V_{S.IMCN}}{V_{S.ABCD}}$= $\frac{V_{S.IMC}}{V_{S.ABC}}$+ $\frac{V_{S.INC}}{V_{S.ACD}}$ = $\frac{SI}{SA}$. $\frac{SM}{SB}$ +$\frac{SI}{SA}$. $\frac{SN}{SD}$= 2. $\frac{SI}{SA}$. $\frac{SN}{SD}$     (1)
Có H là trọng tâm $\Delta$SAC => SH/SO= SN/SD= 2/3
Thay vào (1) => $\frac{V_{S.IMCN}}{V_{S.ABCD}}$= 2/3
=> $V_{S.IMCN}$= $\frac{8\sqrt{3}a^{3}}{9}$
 b/ Trong mp (SAC) kẻ SK vuông góc với IC (2)
 Có BD//MN, BD vuông góc với (SAC) => MN vuông góc với (SAC)=> MN vuông góc với SK (3)
 (2), (3) => SK= d(S, (CMIN))
 Có CH= $\sqrt{OH^{2}+OC^{2}}$= a$\sqrt{\frac{7}{3}}$
 Mà H là trọng tâm $\Delta$ SAC => CI= 3/2. CH= $\frac{a\sqrt{21}}{2}$
 Có MN= 2/3 BD= $\frac{a. 4\sqrt{2}}{3}$
 => $S_{CMIN}$= 1/2. CI.MN= $\frac{a^{2}.\sqrt{42}}{3}$
 Mà $V_{S.CMIN}$= 1/3. SK. $S_{CMIN}$ => SK= $\frac{8a}{\sqrt{14}}$

Gọi G là trung điểm DC
Trong mp(SHG) kẻ IN vuông góc với SG. (1)
Ta có: DC vuông góc với HG, DC vuông góc với SH => DC vuông góc với mp(SHG) => DC vuông góc với IN (2)
(1), (2) => IN vuông góc với (SDC). Theo giả thiết có IN=h
Xét $\Delta$SNI đồng dạng với $\Delta$SHG => $\frac{NI}{HG}$ =$\frac{SI}{SG}$
Có SG= $\sqrt{SH^{2}+HG^{2}}$=$\sqrt{4SI^{2}+(a/2)^{2}}$

=> $\frac{2h}{a}$= $\frac{SI}{\sqrt{4SI^{2}+(a/2)^{2}}}$

=> SI= $\frac{ah}{\sqrt{a^{2}-4h^{2}}}$

=> SH=  $\frac{2ah}{\sqrt{a^{2}-4h^{2}}}$
=> $V_{S.ABCD}$= 1/3. SH. $S_{ABCD}$= $\frac{2a^{3}h}{3\sqrt{a^{2}-4h^{2}}}$

Trên AC lấy C' sao cho AC'= a, trên AD lấy D' sao cho AD'= a
Khi đó ta đi tính thể tích tứ diện đều ABC'D' (do các mặt đều là tam giác đều)
Gọi G là trung điểm C'D
Gọi O là trọng tâm $\Delta$BC'D', ta có AO vuông góc với mp (BC'D')
Xét $\Delta$AOG có $AO^{2}$= $AG^{2}$-$OG^{2}= $$(a\sqrt{3}/2)^{2}$ - $(\frac{a\sqrt{3}}{6})^{2}$= 4$a^{2}$/9 => AO=2a/3
Có $S_{BC'D'}$ =1/2. BG.C'D'= $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
=> $V_{A.BC'D'}$= $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{18}$
Tỉ lệ thể tích giữa 2 khối chóp tam giác: $\frac{V_{ABC'D'}}{V_{ABCD}}$= $\frac{AB}{AB}$. $\frac{AC'}{AC}$. $\frac{AD'}{AD}$= a/b. a/c= $\frac{a^{2}}{bc}$
=> $V_{ABCD}$= $\frac{abc\sqrt{3}}{18}$

a/ Trong mp(BCD), gọi E= CD$\cap $JK. Khi đó, E =CD$\cap $(IJK)
Có EJ qua K là trung tuyến trong $\Delta$BCE, mà BK= 2/3 BD
=> K là trọng tâm $\Delta$BCE => BD là trung tuyến trong $\Delta$BCE=> DC = DE
b/ Trong mp( ACE), gọi F= IE$\cap $AD
Trong $\Delta$ACE có 2 trung tuyến EI và AD giao nhau tại F
=> AF= 2FD
c/ Có F là trọng tâm $\Delta$ACE => EF= 2/3. EI
Có K là trọng tâm $\Delta$BCE => EK= 2/3. EJ
=> EF/EI = EK/EJ
=> FK // IJ
d/ Mp (IJK) được mở rộng thành mp (IJE)
Có MN nằm trong mp (ABN)
Trong mp(BCD), gọi O= BN$\cap $JK
Trong mp(ACE), gọi G= AN$\cap $IE
=> Giao tuyến giữ 2 mp(BCD) và mp(ACE) là OG
Trong mp(ABN), gọi N =MN$\cap $OG
Khi đó, N= MN$\cap $ mp(IJK)

a/ Trong mp (SCD), gọi K = SM $\cap $CD
Khi đó, mp( SBM) chính là mp (SBK)=> CD$\cap $ (SBM) = K
b/ Trong mp(ABCD) gọi O= AC$\cap $BD
Trong mp(SBK), họi G= SO$\cap $BM
Khi đó: G= BM$\cap $(SAC)
c/ Trong mp (SAC), gọi H= SO$\cap $AG
Khi đó, H= SC$\cap $ (ABM)

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

AC= $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$= 2$\sqrt{5}$a
Xét $\Delta$SAC vuông tại A, tan SAC= $\frac{SA}{AC}$= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ => SA= $\frac{2\sqrt{15}a}{3}$
Ghép hình với hệt rục tọa độ trong không gian, sao cho A trùng O, AB trùng Ox, AD trùng Oy, AS trùng Oz
Khi đó tọa độ các điểm là: A(0,0,0), B(2a,0,0), M(2a,2a,0), N(0,3a,0), S( 0,0, $\frac{2\sqrt{5}a}{3}$)
Theo công thức tính khoảng cách 2 đường chéo nhau trong không gian thì: d( $\overrightarrow{SB}$, $\overrightarrow{MN}$)= $\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{SB},\overrightarrow{MN}} \right].\overrightarrow{MB}} \right|}{\left| {\left[ {\overrightarrow{SB},\overrightarrow{MN}} \right]} \right|}$= $\frac{4\sqrt{5}a}{\sqrt{34}}$

$\overrightarrow{OM}$= a. $\overrightarrow{OA}$+ (1-a). $\overrightarrow{OB}$
         = a.( $\overrightarrow{OM}$+ $\overrightarrow{MA}$)+ (1-a). ($\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MB}$)
=> $\overrightarrow{0}$= a. $\overrightarrow{MA}$+ (1-a). $\overrightarrow{MB}$
=> a. $\overrightarrow{MA}$= (a-1). $\overrightarrow{MB}$
=> $\frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MB}}$= $\frac{a-1}{a}$<0  (Do khi M$\in $AB thì $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ trái chiều)
=> 0<a<1

Gọi O= AC$\cap $BD
Trong mp(SAC) gọi G= AC'$\cap $SO
Trong mp(SBD), từ G kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB tại B', SD tại D'. Khi đó mp(P) chính là mp(AB'C'D') (Do BD song song với B'D' nên mp(P) song song với BD).
Có G là trọng tâm $\Delta$SAC => $\frac{SG}{SO}$=$\frac{SB'}{SB}$=$\frac{SD'}{SD}$=$\frac{2}{3}$
Ta có: $\frac{V_{S.AB'C'D'}}{V_{S.ABCD}}$=$\frac{V_{S.AB'C'}}{V_{S.ABC}}$+$\frac{V_{S.AC'D'}}{V_{S.ACD}}$ = $\frac{SB'}{SB}$. $\frac{SC'}{SC}$+ $\frac{SC'}{SC}$. $\frac{SD'}{SD}$ =2/3.1/2+1/2.2/3= 2/3
Có ABCD là hình thoi, $\widehat{BAD}$= $60^{0}$ => $\Delta$ABD là tam giác đều cạnh a
=> $S_{ABCD}$=1/2.AC.BD= 1/2. a$\sqrt{3}$.a= $\frac{a^{2}.\sqrt{3}}{2}$
=> $V_{S.ABCD}$= 1/3. SA. $S_{ABCD}$= $\frac{a^{3}.\sqrt{3}}{6}$
=> $V_{S.AB'C'D'}$= $\frac{a^{3}.\sqrt{3}}{9}$

Gọi G là trung điểm của DC
Đồng nhất hình vẽ với hệ tọa độ không gian sao cho I trùng O, IB trùng Ox, IG trùng với Oy, IS trùng với Oz
Khi đó tọa độ các điểm là: I(0,0,0), A(-a/2,0,0), D(-a/2,-a,0), S(0,0,a$\sqrt{3}$/2), C(a/2,a,0)
Ta có $\overrightarrow{AS}$= (a/2,0,a$\sqrt{3}$/2)= (1,0,$\sqrt{3}$)
$\overrightarrow{AD}$=(0,-a,0)= (0,1,0)
=> Vector pháp tuyến của mp(ASD)= $\left[ {\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AD}} \right]$= ($\sqrt{3}$,0,-1)
=> Phương trình mp(ASD) là: $\sqrt{3}$x- z+ $\frac{\sqrt{3}a}{2}$=0
=> d(C, (SAD))= $\frac{4\sqrt{3}a}{19}$

Gọi X là số giày dép bán ra trong một ngày.
Số giày bán ($X_{i}$)   17  18  19  20  21  22  23  24  25  26
Tần suất      ($m_{i}$)    1    2     4    5    3    4     3    3     1    1
a/ Số giày dép trung bình bán ra trong ngày: $\overline{X}$=$\frac{1}{n}$.$\sum_{i=1}^{k}$$m_{i}x_{i}$= $\frac{17.1+18.2+19.4+20.5+21.3+22.4+23.3+24.3+25.1+26.1}{30}$=19.67
Vậy số giày dép bán ra trung bình là 20 đôi
c/ Phương sai: $s^{2}$= $\frac{1}{n}$.$\sum_{i=1}^{k}$$m_{i}x_{i}^{2}$-  $\overline{X}^{2}$ = 1/3O. ($17^{2}$.1+$18^{2}$.2+$19^{2}$.4+$20^{2}$.5+$21^{2}$.3+$22^{2}$.4+$23^{2}$.3+$24^{2}$.3+$25^{2}$.1+$26^{2}$.1)- $19.67^{2}$= 21.62
Độ lệch chuẩn: $s= \sqrt{s^{2}}$= 4.65

Đồng nhất hình vẽ với hệ trục toạn độ trong không gian sao cho A' $\Xi$O, A'B' $\Xi$Ox, A'D'$\Xi$ Oy, A'A$\Xi$Oz
Khi đó, tọa độ các điểm là: A'(0,0,0), D(0,a,a), C( a,a,a), K(0,a,a/2)
Theo công thức tính khoảng cách 2 đường chéo nhau trong không gian tọa dộ. Ta có:
d( A'D, CK)=$\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{A'D},\overrightarrow{CK}} \right].\overrightarrow{KD}} \right|}{\left| {\left[ {\overrightarrow{A'D},\overrightarrow{CK}} \right]} \right|}$
Mà $\overrightarrow{A'D}$=(0,a,a); $\overrightarrow{CK}$=( -a,0,-a/2); $\overrightarrow{KD}$=(0,0,-a/2)
=> d(A'D, CK)=$\frac{a}{3}$

c/ Chọn 5 người tùy ý có: $C^{5}_{40}$ cách
Những cách chọn không thỏa mãn là:
+ 0 nữ, 5 nam thì có: $C^{5}_{25}$ cách
+ 1 nữ, 4 nam thì có: $C^{1}_{15}$.$C^{4}_{25}$
=> Số cách chọn thỏa mãn là: $C^{5}_{40}$- $C^{5}_{25}$- $C^{1}_{15}$.$C^{4}_{25}$
d/ Tổ trưởng là nữ có: $C^{1}_{15}$ cách chọn bạn tổ trưởng. Đây là 1 biến độc lập với biến còn lại
Số cách chọn 4 bạn còn lại là: $C^{1}_{15}$.$C^{3}_{25}$ + $C^{2}_{15}$.$C^{2}_{25}$ +$C^{3}_{15}$.$C^{1}_{25}$ + $C^{4}_{15}$.$C^{0}_{25}$
Vậy số cách chọn thỏa mãn là: $C^{1}_{15}$.$C^{1}_{15}$.$C^{3}_{25}$ + $C^{1}_{15}$. $C^{2}_{15}$.$C^{2}_{25}$ +$C^{1}_{15}$.$C^{3}_{15}$.$C^{1}_{25}$ + $C^{1}_{15}$. $C^{4}_{15}$.$C^{0}_{25}$
C425C5C52CC425

Chọn 8 người trong 15 người có $C^{8}_{15}$
Những cách chọn không thỏa mãn là:
0 nữ, 8 nam thì có: $C^{8}_{10}$
1 nữ, 7 nam thì có: $C^{1}_{5}$.$C^{7}_{10}$
2 nữ, 6 nam thì có: $C^{2}_{5}$.$C^{6}_{10}$
Vậy số cách chọn thỏa mãn là: C815   -C810-C  15.C710C71-  C25.C610= 3690C610

Trong mp(ABCD) gọi G =MN$\cap $BD, H= MN$\cap $AC. Khi đó, mp(PMN) trở thành mp(PNH)
Vì P, G $\in $ mp(SBD), xét trong mp(SBD) gọi Q= PG$\cap $SD
Vì H, P $\in $ mp(SAC), trong mp(SAC), gọi X = HP $\cap $ SA, J = HP $\cap $ SC
Khi đó, thiết diện của (MNP) với hình chóp là mp (MNJQX)

P/s: giả thiết bài cho chưa tốt vì thừa dữ kiện mà vẫn giải được, giả thiết ABCD là hình bình hành chưa được sử dụng. Hình bình hành cần cho kẻ các mối quan hệ song song, trong bài này thì không cho cái tỉ lệ nào bằng nhau cả, nên khi tìm thiết diện chỉ dùng quan hệ giao nhau!