với n=1, ta có $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}>1$ đúng(n=1 tức là dãy gồm những số từ n+1,n+2,... tới số cuối là 3n+1, tức là n=1 thì số cuối là $\frac{1}{3.1+1}$tức là n càng lớn thì số số hạng trong dãy cũng tăng lêngiả sử bất đẳng thức đúng với n=k, tức là $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1} >1$ta cần chứng minh nó cũng đúng vs n=k+1, tức là $\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac {1}{3(k+1)}+\frac{1}{3(k+1)+1}>1$2 số cuối của dãy khi thay k bằng k+1 đã thay đổi, yên tâm là nó k trùng với 2 số cuối của dãy với n=k đâu, chỉ là thêm thôi, số cuối ủa n=k, tức là $\frac{1}{3k+1}$ nếu ở trong dãy số với n=k+1, thì nó là số $\frac{1}{3(k+1)-2}$về lại cái chính, với n=k+1,số số hạng đã tăng lên, những số tăng lên có$\frac {1}{3(k+1)-1};\frac {1}{3(k+1)};\frac {1}{3(k+1)+1}$tức là $\frac{1}{3k+2};\frac{1}{3k+3};\frac{1}{3k+4}$và thiếu $\frac{1}{k+1}$tức là ta cần chứng minh $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}>1$mà $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1} >1$ rồi, nên chỉ cần chứng minh$\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}\geq 0$là đủ,vì một số lớn hơn 1 cộng với 1 số không âm sẽ lớn hơn 1ta có $\frac{1}{k+1}=\frac{3}{3k+3}$$\Rightarrow \frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{3}{3k+3}=\frac{1}{3k+2}-\frac{2}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}$quy đồng lên hết rồi rút gọn ta được $\frac{2}{(3k+2)(3k+3)(3k+4)} \geq$ luôn đúngvậy bất đẳng thức dc chứng minh

với n=1, ta có $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}>1$ đúng(n=1 tức là dãy gồm những số từ n+1,n+2,... tới số cuối là 3n+1, tức là n=1 thì số cuối là $\frac{1}{3.1+1}$tức là n càng lớn thì số số hạng trong dãy cũng tăng lêngiả sử bất đẳng thức đúng với n=k, tức là $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1} >1$ta cần chứng minh nó cũng đúng vs n=k+1, tức là $\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac {1}{3(k+1)}+\frac{1}{3(k+1)+1}>1$2 số cuối của dãy khi thay k bằng k+1 đã thay đổi, yên tâm là nó k trùng với 2 số cuối của dãy với n=k đâu, chỉ là thêm thôi, số cuối ủa n=k, tức là $\frac{1}{3k+1}$ nếu ở trong dãy số với n=k+1, thì nó là số $\frac{1}{3(k+1)-2}$về lại cái chính, với n=k+1,số số hạng đã tăng lên, những số tăng lên có$\frac {1}{3(k+1)-1};\frac {1}{3(k+1)};\frac {1}{3(k+1)+1}$tức là $\frac{1}{3k+2};\frac{1}{3k+3};\frac{1}{3k+4}$và thiếu $\frac{1}{k+1}$tức là ta cần chứng minh $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}>1$mà $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1} >1$ rồi, nên chỉ cần chứng minh$\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}\geq 0$là đủ,vì một số lớn hơn 1 cộng với 1 số không âm sẽ lớn hơn 1ta có $\frac{1}{k+1}=\frac{3}{3k+3}$$\Rightarrow \frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{3}{3k+3}=\frac{1}{3k+2}-\frac{2}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}$quy đồng lên hết rồi rút gọn ta được $\frac{2}{(3k+2)(3k+3)(3k+4)} \geq 0$ luôn đúngvậy bất đẳng thức dc chứng minh