|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải bất phương trình sau:
|
|
|
|
\[\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 2}} > \frac{1}{{x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 2}} - \frac{1}{{x + 1}} > 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{{(x + 1)}^2} - ({x^2} + x + 2)}}{{(x + 1)({x^2} + x + 2)}} > 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{(x + 1)({x^2} + x + 2)}} > 0\]
Ta có: $x^2+x+2>0 \forall x \in \mathbb{R}$ nên bất phương trình tương đương với: \[\frac{{x - 1}}{{x + 1}} > 0\]
Với điều kiện $B \ne 0$ thì dấu của $\frac{A}{B}$ giốg như $A.B$ nên bất phương trình lại tương đương với: \[(x + 1)(x - 1) > 0\]
Đây là một tam thức bậc 2 nên xét dấu của nó rất dễ dàng.
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \[( - \infty ; - 1) \cup (1; + \infty )\]
|
|
|
|
bình luận
|
BDT day
Biến đổi như mình đến chỗ VT bạn có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến nữa nhé, vì các biểu thức đối với a, b, c có dạng giống nhau, bạn xét nó như một hàm số.
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
BDT day
|
|
|
|
\[VT = \frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = \frac{{{a^2}}}{{2 - a}} + \frac{{{b^2}}}{{2 - b}} + \frac{{{c^2}}}{{2 - c}}\]
Đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - a\\
y = 2 - b\\
z = 2 - c
\end{array} \right. \Rightarrow x + y + z = 6 - (a + b + c) = 4\]
\[ \Rightarrow VT = \frac{{{{(2 - x)}^2}}}{x} + \frac{{{{(2 - y)}^2}}}{y} + \frac{{{{(2 - z)}^2}}}{z}\]
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky dạng phân số:
\[VT \ge \frac{{{{(2 - x + 2 - y + 2 - z)}^2}}}{{x + y + z}} \ge \frac{{{{[6 - (x + y + z)]}^2}}}{{x + y + z}} \ge 1 \ge VP\]
Dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow \frac{{2 - x}}{x} = \frac{{2 - y}}{y} = \frac{{2 - z}}{z} \Leftrightarrow x = y = z = \frac{4}{3}\] hay $a=b=c=\frac{2}{3}$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm GTNN của:
|
|
|
|
2. $y =x+1+\frac{4}{x-3} $ với $ x > 3$ Áp dụng bất đẳng thức Côsi: \[y = x + 1 + \frac{4}{{x - 3}} = x + 3 + \frac{4}{{x - 3}} - 2 \ge 2\sqrt {x + 3.\frac{4}{{x - 3}}} - 2 \ge 2\] Dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow x + 3 = \frac{4}{{x - 3}} \Leftrightarrow {(x - 3)^2} = 4 \Leftrightarrow x - 3 = 2 \vee x - 3 = - 2 \Leftrightarrow x = 5 \vee x = 1\] Do $x>3$ nên dấu bằng xảy ra khi $x=5$
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm GTNN của:
|
|
|
|
1. $ y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x - 1} $ với $x > 1$ Áp dung bất đẳng thức Côsi: \[y = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{1}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{x - 1}}{2}.\frac{2}{{x - 1}}} + \frac{1}{2} \ge 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\] Dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{2} = \frac{2}{{x - 1}} \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 4 \Leftrightarrow x - 1 = 2 \vee x - 1 = - 2 \Leftrightarrow x = 3 \vee x = - 1\] Do $x>1$ nên dấu bằng xảy ra khi $x=3$ |
|
|
|
giải đáp
|
violympic 8
|
|
|
|
\[\frac{{3 - x}}{{13}} - 2 = \frac{x}{{26}} - \frac{{x + 3}}{4}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{8(3 - x)}}{{104}} - \frac{{208}}{{104}} = \frac{{4x}}{{104}} - \frac{{26(x + 3)}}{{104}}\]
\[ \Leftrightarrow 8(3 - x) - 208 - 4x + 26(x + 3) = 0\]
\[ \Leftrightarrow 14x - 106 = 0\]
\[ \Leftrightarrow x = \frac{{53}}{7}\]
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải giúp tớ với!
|
|
|
|
b) \[\sqrt x - \sqrt {x + 1} > 1 \Leftrightarrow \frac{{x - x - 1}}{{\sqrt x + \sqrt {x + 1} }} > 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{\sqrt x + \sqrt {x + 1} }} > 1\]
Mà $\sqrt x + \sqrt {x + 1} > 0 \forall x \in \mathbb{R}$
$\Rightarrow \frac{{ - 1}}{{\sqrt x + \sqrt {x + 1} }} <0\forall x \in \mathbb{R}$
Vậy bất phương trình vô nghiệm.
|
|
|
|
|
|
|
|