|
|
giải đáp
|
Tính các giới hạn sau
|
|
|
|
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x} - \sqrt {4{x^2} + 1} }}{{\sqrt {3{x^2} + 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{4}{x}} - \sqrt {4 + \frac{1}{x}} }}{{\sqrt {3 + \frac{1}{{{x^2}}}} + \frac{1}{x}}} = \frac{{\sqrt {1 - 0} - \sqrt {4 + 0} }}{{\sqrt {3 + 0} + 0}} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]
|
|
|
|
giải đáp
|
Tính các giới hạn sau
|
|
|
|
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2} + \sqrt[3]{{1 - {x^6}}}}}{{\sqrt {{x^4} + 1} + {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1 + \sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^6}}} - 1}}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^4}}}} + 1}} = \frac{{1 + \sqrt[3]{{0 - 1}}}}{{\sqrt {1 + 0} + 1}} = 0\]
|
|
|
|
giải đáp
|
Tính các giới hạn sau
|
|
|
|
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} - x - 4}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} - \frac{1}{x} - \frac{4}{{{x^2}}}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} + \frac{1}{x}}} = \frac{{\sqrt {1 + 0} - 0 - 0}}{{\sqrt {1 + 0} + 0}} = 1\]
|
|
|
|
giải đáp
|
Tính các giới hạn sau
|
|
|
|
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} + 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\sqrt {1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + \frac{1}{x}}} = \frac{{\sqrt {4 + 0} + 0 - 0}}{{\sqrt {1 + 0 + 0} + 0}} = 2\]
|
|
|
|
giải đáp
|
Tính tích phân
|
|
|
|
\[\int\limits_0^{\frac{\Pi }{2}} {({{10}^{\frac{x}{4}}} - \sin \Pi x)} dx = \left. {{{10}^{\frac{x}{4}}}x} \right|_0^{\frac{\Pi }{2}} + \left. {\frac{{\cos \Pi x}}{\Pi }} \right|_0^{\frac{\Pi }{2}} = \frac{{\Pi {{10}^{\frac{\Pi }{8}}}}}{2} + \frac{{\cos \frac{{{\Pi ^2}}}{2}}}{\Pi }\]
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm các giới hạn sau
|
|
|
|
\[L = \lim \frac{{\sqrt {2{n^3}} + 5n - 1}}{{2{n^2} - n + 3}} = \lim \frac{{{n^{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 + 5n - 1}}{{2{n^2} - n + 3}}\]
\[L = \lim \frac{{\sqrt 2 + \frac{5}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{n^2}}}}}}}{{2\sqrt n - \frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{3}{{\sqrt[3]{{{n^2}}}}}}} = \lim \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt n }} = 0\]
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm các giới hạn sau
|
|
|
|
\[\lim \frac{{2{n^2} - 2\sqrt n + 8}}{{ - {n^2} + 3\sqrt n - 7}} = \lim \frac{{2{{(\sqrt n )}^4} - 2\sqrt n + 8}}{{ - {{(\sqrt n )}^4} + 3\sqrt n - 7}} = \lim \frac{{2 - \frac{2}{{{{(\sqrt n )}^3}}} + \frac{8}{{{{(\sqrt n )}^4}}}}}{{ - 1 + \frac{3}{{{{(\sqrt n )}^3}}} - \frac{7}{{{{(\sqrt n )}^4}}}}} = - 2\]
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm các giới hạn sau
|
|
|
|
\[\lim \frac{{(3n + 4)(n + 2)(n - 3)}}{{2n({n^2} + n - 4)}} = \lim \frac{{3{n^3} + {n^2} - 22n - 24}}{{2{n^3} + 2{n^2} - 8n}} = \lim \frac{{3 + \frac{1}{n} - \frac{{22}}{{{n^2}}} - \frac{{24}}{{{n^3}}}}}{{2 + \frac{2}{n} - \frac{8}{{{n^2}}}}} = \frac{3}{2}\]
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải bất phương trình sau:
|
|
|
|
\[\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 2}} > \frac{1}{{x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 2}} - \frac{1}{{x + 1}} > 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{{(x + 1)}^2} - ({x^2} + x + 2)}}{{(x + 1)({x^2} + x + 2)}} > 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{(x + 1)({x^2} + x + 2)}} > 0\]
Ta có: $x^2+x+2>0 \forall x \in \mathbb{R}$ nên bất phương trình tương đương với: \[\frac{{x - 1}}{{x + 1}} > 0\]
Với điều kiện $B \ne 0$ thì dấu của $\frac{A}{B}$ giốg như $A.B$ nên bất phương trình lại tương đương với: \[(x + 1)(x - 1) > 0\]
Đây là một tam thức bậc 2 nên xét dấu của nó rất dễ dàng.
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \[( - \infty ; - 1) \cup (1; + \infty )\]
|
|
|
|
giải đáp
|
BDT day
|
|
|
|
\[VT = \frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = \frac{{{a^2}}}{{2 - a}} + \frac{{{b^2}}}{{2 - b}} + \frac{{{c^2}}}{{2 - c}}\]
Đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - a\\
y = 2 - b\\
z = 2 - c
\end{array} \right. \Rightarrow x + y + z = 6 - (a + b + c) = 4\]
\[ \Rightarrow VT = \frac{{{{(2 - x)}^2}}}{x} + \frac{{{{(2 - y)}^2}}}{y} + \frac{{{{(2 - z)}^2}}}{z}\]
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky dạng phân số:
\[VT \ge \frac{{{{(2 - x + 2 - y + 2 - z)}^2}}}{{x + y + z}} \ge \frac{{{{[6 - (x + y + z)]}^2}}}{{x + y + z}} \ge 1 \ge VP\]
Dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow \frac{{2 - x}}{x} = \frac{{2 - y}}{y} = \frac{{2 - z}}{z} \Leftrightarrow x = y = z = \frac{4}{3}\] hay $a=b=c=\frac{2}{3}$
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm GTNN của:
|
|
|
|
2. $y =x+1+\frac{4}{x-3} $ với $ x > 3$ Áp dụng bất đẳng thức Côsi: \[y = x + 1 + \frac{4}{{x - 3}} = x + 3 + \frac{4}{{x - 3}} - 2 \ge 2\sqrt {x + 3.\frac{4}{{x - 3}}} - 2 \ge 2\] Dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow x + 3 = \frac{4}{{x - 3}} \Leftrightarrow {(x - 3)^2} = 4 \Leftrightarrow x - 3 = 2 \vee x - 3 = - 2 \Leftrightarrow x = 5 \vee x = 1\] Do $x>3$ nên dấu bằng xảy ra khi $x=5$
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm GTNN của:
|
|
|
|
1. $ y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x - 1} $ với $x > 1$ Áp dung bất đẳng thức Côsi: \[y = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{1}{2} \ge 2\sqrt {\frac{{x - 1}}{2}.\frac{2}{{x - 1}}} + \frac{1}{2} \ge 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\] Dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{2} = \frac{2}{{x - 1}} \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 4 \Leftrightarrow x - 1 = 2 \vee x - 1 = - 2 \Leftrightarrow x = 3 \vee x = - 1\] Do $x>1$ nên dấu bằng xảy ra khi $x=3$ |
|
|
|
giải đáp
|
violympic 8
|
|
|
|
\[\frac{{3 - x}}{{13}} - 2 = \frac{x}{{26}} - \frac{{x + 3}}{4}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{8(3 - x)}}{{104}} - \frac{{208}}{{104}} = \frac{{4x}}{{104}} - \frac{{26(x + 3)}}{{104}}\]
\[ \Leftrightarrow 8(3 - x) - 208 - 4x + 26(x + 3) = 0\]
\[ \Leftrightarrow 14x - 106 = 0\]
\[ \Leftrightarrow x = \frac{{53}}{7}\]
|
|