Cho hàm số $y = {x^3} + (1 - 2m){x^2} + (2 - m)x + m + 2\,\,\,\, (C)$. Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn hoành độ các điểm cực trị lớn hơn -1.

Điều kiện $x\geq -2$
Đặt $\sqrt[3]{\frac{x-3}{3}}=t $ suy ra $x=3t^3+3$
PT đã cho $\sqrt{\frac{3t^3+5}{2}}-1 = 3t^2+3t $ (*) Chuyển vế bình phương rút gọn  ta được :
$(*)$ $\Leftrightarrow $$18t^4+33t^3+30t^2+12t-3=0$
$\Leftrightarrow$ $(t+1)(6t-1)(t^2+t+1) =0$
Nếu $ t=-1$ thì $x =0$
Nếu $t=\frac{1}{6}$  thì $x =\frac{217}{72}$

Từ PT suy ra $\pi x^2 = \pi (x+1)^2 +k2\pi$ (*) hoặc $\pi x^2 =\pi- \pi (x+1)^2 +k2\pi$ (**) (k là số nguyên)
Giải (*) $\Leftrightarrow $ $x^2 = (x^2+2x+1) +2k$
$\Leftrightarrow x=-\frac{2k+1}{2}$ để x>0 suy ra $k< -\frac{1}{2}$ hay $k\leqslant -1$ (do k nguyên) ,để $x$ dương nhỏ nhất thì $k$  lớn nhất suy ra $k=-1$.
Giải (**) $\Leftrightarrow $ $ 2x^2+2x+1-2k=0 $ để PT có nghiệm $\Delta' = 4k-1\geq 0 $ suy ra $k \geqslant \frac{1}{4}$ hay $k \geqslant 1$ dễ thấy PT có 2 nghiệm trái dấu ,nghiệm dương nhỏ nhất khi $\Delta' = 4k-1 $ nhỏ nhất ,suy ra $k=1$
Thay vào tìm nghiệm và kết luận $x$ dương nhỏ nhất là $\frac{-1+\sqrt{3}}{2} $

Áp dụng BDT Bunhiacopski ta có $(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}+\sqrt{1-z})^2 \leq 3(1-x +1-y+1-z) =6 $ do ($x+y+z=1$)
Từ đó suy ra dpcm.

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác ,$R,r$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp ,nội tiếp.
CMR: $a^2+b^2+c^2 \leq 8R^2 +4r^2$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Giải phương trình :$ \sin x+\cos x=\sin x \cos x$

Giải phương trình :$ \sin x+\cos x=1$

Cho $\log^2_3x \sqrt{log^2_3+1}-2m-1=0  (2)$
$(m$ là tham số)
1. Giải phương trình $(2)$ khi $m = 2$.
2. Tìm $m$ để phương trình $(2)$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $[1; 3^{\sqrt{3}}]$

Cho $\log^2_3x \sqrt{log^2_3+1}-2m-1=0  (2)$
$(m$ là tham số)
1. Giải phương trình $(2)$ khi $m = 2$.
2. Tìm $m$ để phương trình $(2)$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $[1; 3^{\sqrt{3}}]$

test

Cho $\log^2_3x \sqrt{log^2_3+1}-2m-1=0  (2)$
$(m$ là tham số)
1. Giải phương trình $(2)$ khi $m = 2$.
2. Tìm $m$ để phương trình $(2)$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $[1; 3^{\sqrt{3}}]$

Cho $\log^2_3x \sqrt{log^2_3+1}-2m-1=0  (2)$
$(m$ là tham số)
1. Giải phương trình $(2)$ khi $m = 2$.
2. Tìm $m$ để phương trình $(2)$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $[1; 3^{\sqrt{3}}]$

$\sin x+x^2=0 $

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết