C2,đặt $\sqrt{x^{2}+2012}=a(a\geq0)=>a^{2}=x^{2}+2012=>2012=a^{2}-x^{2}$

khi đó pt trở thành $x^{4}+a=a^{2}-x^{2}$

<=>$(x^{4}-a^{2})+(a+x^{2})=0$

<=>$(a+x^{2})(x^{2}-a+1)=0$

$\begin{cases}(x^{2}-2xy+y^{2})+(2x^{2}+4xy+2y^{2})+\frac{1}{(x-y)^{2}}=20\\(x+y)+(x-y)+\frac{1}{x-y}=5\end{cases}$

<=>$\begin{cases}(x-y)^{2}+\frac{1}{(x-y)^{2}}+2(x+y)^{2}=20\\(x+y)+(x-y)+\frac{1}{x-y}=5\end{cases}$

đặt $(x-y)+\frac{1}{x-y}=a=>a^{2}=(x-y)^{2}+\frac{1}{(x-y)^{2}}+2$ và $ x+y=b$

khi đó hpt thành

$\begin{cases}a^{2}-2+2b^{2}=20\\a+b=5\end{cases}$

giải tiếp tìm đc a,b rồi tìm đc x,y

<=>$\begin{cases}3(4x^{2}+4xy+y^{2})+(4x^2-4xy+y^{2})+\frac{3}{(2x+y)^{2}}=7\\(2x-y)+(2x+y)+\frac{1}{2x+y}=3\end{cases}$

<=>$\begin{cases}3(2x+y)^{2}+\frac{3}{(2x+y)^{2}}+(2x-y)^{2}=7\\(2x+y)+\frac{1}{2x+y}+(2x-y)=3\end{cases}$

đặt $(2x+y)+\frac{1}{2x+y}=a=>a^{2}=(2x+y)^{2}+\frac{1}{(2x+y)^{2}}+2 và (2x-y)=b$

khi đó hpt thành$ \begin{cases}a^{2}-6+b^{2}=7\\a+b=3\end{cases}$

giải tiếp tìm đc a,b rồi tìm đc x,y

Xét y =0 không là nghiệm của pt.chia cả 2vế của pt cho y ta đc

$\begin{cases}\frac{x^{2}+1}{y}+(x+y)=4 \\ \frac{x^{2}+1}{y}(x+y-2)=1\end{cases}$

đặt $\frac{x^{2}+1}{y}=a,(x+y)=b$

khi đó dễ dàng giải đc hpt

C2.có $(x+y+z)^{3}=(x+y){3}+3(x+y)^{2}z+3(x+y)z^{2}+z^{3}$

<=>$(x+y+z)^{3}=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xy(x+y)+3(x+y)z(x+y+z)$

<=>$(x+y+z)^{3}=3z^{3}+3xy(x+y)+3(x+y)z(x+y+z)$($x^{3}+y{3}=2z^{3}$)

nhận thấy VPchia hết cho 3=> VT chia hết cho 3=>$x+y+z$ chia hết cho 3

Đặt $\frac{1}{\sqrt{x}}=a(a\geq0),\sqrt{y}=b(b\geq0)$

khi đó hpt thành $a^{2}+b^{2}-ab=1$

                 . $a^{3}+b^{3}=a+\sqrt{3}b^{2}$(*)

pt (*)<=>$(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)=a+\sqrt{3}b^{2}$

<=>$a+b=a+\sqrt{3}b^{2}$( vì$a^{2}+b^{2}-ab=1$)

giải tiếp tìm đc b,a rồi tìm đc x,y

Đkxđ $-1\leq x\leq2$

đặt $\sqrt{1+x}=a$,$\sqrt{2-x}=b$($a,b\geq0$)

=>$2b^{2}-a^{2}=3-3x$.khi đó pt trở thành

$ab+a-b=2b^2-a^{2}$

<=>$a^{2}+a(b+1)-(2b^{2}+b)=0$

coi pt là pt bậc 2ẩn a

có $\Delta =(b+1)^{2}+4(2b^{2}+b)=(3b+1)^{2}$

tính đc a theo b rồi giải tiếp

C,gọi I là trug đ của BC,F là giao đ của AI,MN

cm 5điểm A,M,N,I,K cùg thuộc 1 đg tròn

=>góc AKN=AMN.mà góc AMN =ANM =>...

d,cm góc AME =ABM(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cug)

cm tg AME~ABM =>AE.AB =AM^2.

cm tg AEH ~AKB=>AE.AB =AH.AK

cmAM^2=AF.AI

=>AH.AK =AF.AI

=>tg AHF ~AIK => goc AFH =90*=>HN vuôg góc vs AI

mà MN vuôg góc AI =>M,N,H thẳg hàng

Vì MNIH nội tiếp => góc NIH+NMH=180

mà góc OIH +HIN =180=>góc OIH =OMN

=>tg OIH~OMN

=>OI.ON=OH.OM.mà OH.OM =$R^{2}$(sd hệ thức lươg trog tg vuôg)

=>OI.ON =$R^{2}$

d,vì OM=2R.xét tg OAM vuôg tại A có sinAMO =OA/OM=1/2

=>góc AMO =30*.mà góc AMB =2góc AMO=> góc AMB =60

tam giác AMB cân có 1góc bằg 60*=> tg đều

có $\sqrt{x-1}$-$\sqrt{y-1}$=$y\sqrt{y}$-$x\sqrt{x}$

<=>$\frac{(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1})(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1})}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}$=-($\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$)(x+$\sqrt{xy}$+y)

<=>$\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}$+($\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$)(x+$\sqrt{xy}$+y)=0

<=>($\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$)($\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}$+$x$+$\sqrt{xy}$+$y$)=0

<=>$\sqrt{x}$=$\sqrt{y}$<=>x=y

thay x=y vào pt ta đc...

Bt đã cho <=>$\sqrt{x-1}$-$\sqrt{y-1}$=$y\sqrt{y}$-$x\sqrt{x}$

<=>$\frac{x-1-y+1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}$=-($\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$)(x+$\sqrt{xy}$+y)

<=>$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}$+($\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$)(x+$\sqrt{xy}$+y)=0

<=>x=y.thay vào bt.tìm đc min =-3

Cm $\widehat{BDA}$=$\widehat{O'OA}$(=1/2$\widehat{AOB}$)

mà $\widehat{BDA}$=$\widehat{ECA}$(góc ngoài tại đỉh D của tứ giác EDAC nội tiếp

=> $\widehat{ECO}$=$\widehat{COO'}$

=>EC//OO'=>AB vuôg góc vs EC

mà EC là tpg của $\widehat{EBC}$

=>Tg EBC cân tại B

cm $\widehat{O'OA}$=$\widehat{BDA}$(=1/2$\widehat{AOB}$)

mà $\widehat{BDA}$=$\widehat{ECA}$(góc ngoài tại đỉh D của tứ giác EDAC nội tiếp)

=>$\widehat{ECO}$=$\widehat{COO'}$

=> EC//OO' mà AB vuôg góc vs OO'

=> AB vuôg góc vs EC.

theo câu a,AB là tpg => tg ECB cân(đpcm)