Cho số thực x thay đổi thỏa mãn đk :$x^{2}+(3-x)^{2}\geqslant 5$

Tính min cuả$P=x^{4}+(3-x)^{4}+6x^{2}(3-x)^{2}$

ĐKXĐ$x\geq-1$

<=>$x^{2}=(x-4)(\frac{1-1-x}{1+\sqrt{1+x}})^{2}$(nhân liên hợp)

<=>$x^{2}=(x-4)\frac{x^{2}}{(1+\sqrt{1+x})^{2}}$

chuyển vế đặt nhân tử chug rồi lm tiếp

Vì $a+b=2=>a^{2}+b^{2}+2ab=4=>a^{2}+b^{2}=4-2ab$

thay vào bt đã cho rồi giải tiếp

Pt<=>$(3x+1)\sqrt{x^{2}+x+2}=3x^{2}+3x+2$

<=>$(3x+1)\sqrt{x^{2}+x+2}=(x^{2}+x+2)+(2x^{2}+2x)$

đặt$\sqrt{x^{2}+x+2}=a(a\geq0)$.khi đó pt trở thành

$(3x+1)a=a^{2}+(2x^{2}+2x)$

<=>$a^{2}-(3x+1)a+(2x^{2}+2x)=0$

coi pt là pt bậc 2 ẩn a.tính delta,tìm đc a theo x rồi giải tiếp

Pt<=>$2(x+3)\sqrt{2x^{2}+1}=2x^{2}+2x+6$

<=>$2(x+3)\sqrt{2x^{2}+1}=(2x^{2}+1)+2x+5$

Đặt $\sqrt{2x^{2}+1}=a(a\geq0)$.khi đó pt thàh

$2(x+3)a=a^{2}+2x+5$<=>$a^{2}-2(x+3)a+2x+5=0$

coi pt trên như pt bậc 2 ẩn a,tính delta.tính đc a theo x,

Đkxđ $x\geq-2$

pt<=>$3\sqrt{(x+2)(x^{2}-2x+4)}=2(x^{2}-3x+2)$

đặt $\sqrt{x+2}=a(a\geq0),\sqrt{x^{2}-2x+4}=b(b\geq0)$

=>$b^{2}-a^{2}=x^{2}-3x+2$

khi đó pt thàh...

<=>$3\sqrt{(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)}=3(x^{2}+1)$

đặt $\sqrt{x^{2}-x+1}=a(a>0),\sqrt{x^{2}+x+1}=b(b>0)$

=>$a^{2}+b^{2}=2(x^{2}+1)$.

khi đó pt thành...

Cm $\frac{3a^{3}+7b^{3}}{2a+3b}\geq a^{2}+2b^{2}-ab$(biến đổi tươg đươg)

tương tự ...

Cho a,b,c t/m $0<a\leq b\leq c$ và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

tìm min $P=ab^{2}c^{3}$

Cộng 2 pt của hệ pt ta đc

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z=6\sqrt{xyz}$

áp dụgBĐT Côsi cho 6 số $x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\geq6\sqrt[6]{x^{3}y^{3}z^{3}}=6\sqrt{xyz}$

dấu = xảy ra...

Nối AO.có góc OAC =ACB,mà góc AFE=ABC

=>goc OAC+AFE=ABC +ACB =90*=>AO vuôg góc vs MN

=>AO đi qua trug điểm MN =>tg AMN cân tại A

d,gọi K là tâm đtròn ngoại tiếp tg BEFC,I là giao đ của EF và AH

vì I là trug đ của EF =>KI vuôg góc vs EF.mà AO vuôg góc vs EF

=>AO\\ KI.

O là trug điểm cuảBC =>KO vuôg góc vs BC.mà AI vuôg góc vs BC

=>AI\\OK =>AOKI là hbhành=>IK=OA

Có $KE ^{2}=KI^{2}+EI^{2}=R^{2}+\frac{1}{4}AH^{2}$

bán kính lớn nhất <=>AH lớn nhất <=>A là điểm chíh giữa cug BC

BĐT Bunhiacopski cho 3 số$(a+b+c)(\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c})\geq(x+y+z)^{2}$(*)

có$P=\frac{a^{4}}{ab+2ac}+\frac{b^{4}}{bc+2ab}+\frac{c^{4}}{ac+2bc}$

áp dụg BĐT (*) ta có$ (ab+2ac+bc+2ab+bc+2bc)P\geq(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

hay $P\geq\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(3ab+3bc+3ac)}\geq\frac{1}{9}$

dấu "=" xảy ra <=>$a=b=c=\frac{1}{3}$

Pt<=>$x^{2}+8=\sqrt{(x+2)(x^{2}-2x+4)}$

Đặt $\sqrt{x+2}=a(a\geq0),\sqrt{x^{2}-2x+4}=b(b\geq0)$

=>$2a^{2}+b^{2}=2(x+2)+x^{2}-2x+4=x^{2}+8$

khi đó pt thành $2a^{2}+b^{2}=3ab$

giải tiếp

C1,Áp dụng BĐT cosi cho 3số

$a^{6}+b^{6}+1\geq3\sqrt[3]{a^{6}b^{6}}=3a^{2}b^{2}$

tương tự=>đpcm