Ai còn nhớ bất này không????

Cho $\begin{cases}a,b,c>0 \\ a2+b^2+c^2=3 \end{cases}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P=\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}$P/s: Các mem vào vote giúp bài bất ở links này nhé!: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/136797/bdt

Bất đẳng thức

Ai còn nhớ bất này không????

Cho $\begin{cases}a,b,c>0 \\ a^{2}+b^2+c^2=3 \end{cases}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $P=\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}$P/s: Các mem vào vote giúp bài bất ở links này nhé!: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/136797/bdt

Bất đẳng thức

Không mất tính tổng quát gỉa sử:$a>b>c\geq0$Khi đó:$P\geq \frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$Khi đó:$3P= P.(\Sigma a^{2})\geq ( a^{2}+b^{2})\left[ {\frac{1}{(a-b)^{2}}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right]=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}}+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^{2}$Đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a},(t>2)$$\Rightarrow P\geq f(t)=\frac{1}{3}(t^{2}+\frac{t}{t-2})$Xét h/s $f(t),t>2$$f'(t)=\frac{1}{3}\left[2t-\frac{2}{(t-2)^{2}} \right]$$f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$Min P=\frac{11+\sqrt{5}}{6}\Leftrightarrow c=0;\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$Bn tự giải dấu ''='' xra nhé:Dmk hơi lười

Không mất tính tổng quát gỉa sử:$a>b>c\geq0$Khi đó:$P\geq \frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$Khi đó:$3P= P.(\Sigma a^{2})\geq ( a^{2}+b^{2})\left[ {\frac{1}{(a-b)^{2}}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right]=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}}+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^{2}$Đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a},(t>2)$$\Rightarrow P\geq f(t)=\frac{1}{3}(t^{2}+\frac{t}{t-2})$Xét h/s $f(t),t>2$$f'(t)=\frac{1}{3}\left[2t-\frac{2}{(t-2)^{2}} \right]$$f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$Min P=\frac{11+\sqrt{5}}{6}\Leftrightarrow c=0;\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$Dấu''='' xra$\Leftrightarrow c=0;a=\frac{3+\sqrt{5}\pm \sqrt{6\sqrt{5}-2}}{4}b$

$P=\frac{1}{2+\frac{3y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$Do$x\geq y\Rightarrow \frac{x}{y}\geq1$ÁD BĐT$\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$ $\Rightarrow P\geq \frac{1}{2+\frac{3y}{x}}+\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$Đặt$t=\sqrt{\frac{x}{y}}(t\epsilon \left[ {1;2} \right])$$\Rightarrow P\geq \frac{t^{2}}{2t^{2}+3}+\frac{2}{1+t}=f(t)$$f'(t)=\frac{6t}{(2t^{2}+3)^{2}}-\frac{2}{(t+1)^{2}}\leq0,t\epsilon \left[ {1;2} \right]$$\Rightarrow min f(t)=f(2)=\frac{34}{33}$Dấu''='' xra$\Leftrightarrow x=4;y=1;z=2$

$P=\frac{1}{2+\frac{3y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$Do$x\geq y\Rightarrow \frac{x}{y}\geq1$ÁD BĐT$\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$ Đặt$t=\sqrt{\frac{x}{y}}(t\epsilon \left[ {1;2} \right])$$\Rightarrow P\geq \frac{t^{2}}{2t^{2}+3}+\frac{2}{1+t}=f(t)$$f'(t)= \frac{6t}{(2t^{2}+3)^{2}}-\frac{2}{(t+1)^{2}}\leq0,t\epsilon \left[ {1;2} \right]$$\Rightarrow min f(t)=f(2)=\frac{34}{33}$Dấu''='' xra$\Leftrightarrow x=4;y=1;z=2$

ÁD BĐT AM-GM:$6(x^{2}+y^{2}+z^{2})+6xyz+30-18(x+y+z)=6(\Sigma x^{2})+3(2xyz+1)+27-3.3.3.(x+y+z)$$\geq6(\Sigma x^{2})+9\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}+27-3\left[ {(x+y+z)^{2}+9} \right]$$\geq 3(\Sigma x^{2})+\frac{27}{x+y+z}-6(xy+yz+zx)(*)$Theo BĐT Shur:$\frac{9}{x+y+z}\geq4(xy+yz+zx)-(x+y+z)^{2}=2(xy+yz+zx)-(\Sigma x^{2})$$\Rightarrow(*) \geq0\Rightarrow đpcm$

ÁD BĐT AM-GM:$6(x^{2}+y^{2}+z^{2})+6xyz+30-18(x+y+z)=6(\Sigma x^{2})+3(2xyz+1)+27-3.2.3.(x+y+z)$$\geq6(\Sigma x^{2})+9\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}+27-3\left[ {(x+y+z)^{2}+9} \right]$$\geq 3(\Sigma x^{2})+\frac{27}{x+y+z}-6(xy+yz+zx)(*)$Theo BĐT Shur:$\frac{9}{x+y+z}\geq4(xy+yz+zx)-(x+y+z)^{2}=2(xy+yz+zx)-(\Sigma x^{2})$$\Rightarrow(*) \geq0\Rightarrow đpcm$

$pt(2)\Leftrightarrow (a-b)(a^3-b^3-3a^2-3b^2)=2(a^3-b^3-3a^2-3b^2)$$\Leftrightarrow a^3-b^3=3(a^2+b^2)\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=3(a^2+b^2)$Mặt khác do $a-b<2 \vee ab \le |ab| \le a^2+b^2$\hookrightarrow VT <2(a^2+ab+b^2) \le 3(a^2+b^2)=VP$HPT VN

$pt(2)\Leftrightarrow (a-b)(a^3-b^3-3a^2-3b^2)=2(a^3-b^3-3a^2-3b^2)$$\Leftrightarrow a^3-b^3=3(a^2+b^2)\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=3(a^2+b^2)$Mặt khác do $a-b<2 \vee ab \le |ab| \le a^2+b^2$$\hookrightarrow VT <2(a^2+ab+b^2) \le 3(a^2+b^2)=VP$HPT VN

ai giải giúp mik vs !!!

cot^{3}x - 3cotx + \frac{1}{sin^{2}x} - 4 =0

Phương trình lượng giác cơ bản

ai giải giúp mik vs !!!

$cot^{3}x - 3cotx + \frac{1}{sin^{2}x} - 4 =0$

Phương trình lượng giác cơ bản

Ta có:$(a-\frac{1}{2})^{2}=a^{2}-a+\frac{3}{4}-(a+b+\frac{1}{2})\Rightarrow a^{2}+b+\frac{3}{4}\geq a+b+\frac{1}{2}$TT$\Rightarrow VT\geq (a+b+\frac{1}{2})^{2}=(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4})^{2}\geq4(a+\frac{1}{4})(b+\frac{1}{4})=VP$Dấu''='' xra$\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Ta có:$(a-\frac{1}{2})^{2}=a^{2}+b+\frac{3}{4}-(a+b+\frac{1}{2})\Rightarrow a^{2}+b+\frac{3}{4}\geq a+b+\frac{1}{2}$TT$\Rightarrow VT\geq (a+b+\frac{1}{2})^{2}=(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4})^{2}\geq4(a+\frac{1}{4})(b+\frac{1}{4})=VP$Dấu''='' xra$\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Use pp đánh giá:DĐK:$x\geq \frac{5}{6}>0$$\Rightarrow (1) xđ\Leftrightarrow8x^{2}-10x+3>0$ÁD BĐT Cauchy cho các số dương:$\sqrt[6]{(6x-5).1.1.1.1.1}\leq \frac{6x-5+1+1+1+1+1}{6}=x$$\Rightarrow VT(1)\leq x$(*)Dấu''='' xra$\Leftrightarrow x=1$Xét:$\frac{x^{7}}{8x^{2}-10x+3}-x\geq0 \Leftrightarrow (x-1)^{2}.(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+4x-3)\geq0$(luôn đúng,$x\geq \frac{5}{6}$)$\Rightarrow VP(1)\geq x$(**)pt(1)$\Leftrightarrow$(*)&(**) xra dấu''=''$\Leftrightarrow x=1$(t/m)KL:....

Use pp đánh giá:DĐK:$x\geq \frac{5}{6}>0$$\Rightarrow (1) xđ\Leftrightarrow8x^{2}-10x+3>0$ÁD BĐT Cauchy cho các số dương:$\sqrt[6]{(6x-5).1.1.1.1.1}\leq \frac{6x-5+1+1+1+1+1}{6}=x$$\Rightarrow VT(1)\leq x$(*)Dấu''='' xra$\Leftrightarrow x=1$Xét:$\frac{x^{7}}{8x^{2}-10x+3}-x\geq0 \Leftrightarrow x.(x-1)^{2}.(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+4x-3)\geq0$(luôn đúng,$x\geq \frac{5}{6}$)$\Rightarrow VP(1)\geq x$(**)pt(1)$\Leftrightarrow$(*)&(**) xra dấu''=''$\Leftrightarrow x=1$(t/m)KL:....

ai trả lời giúp

Tại sao : $\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }(x+\sqrt{x^2+1})=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}} =0$Mà sao không phải là: $=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\left| {x} \right|(1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})=-\infty $

Giới hạn của hàm số

ai trả lời giúp

Tại sao : $\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }(x+\sqrt{x^2+1})=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\frac{1}{x-\sqrt{x^2+1}} =0$Mà sao không phải là: $=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\left| {x} \right|(1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}})=-\infty $

Giới hạn của hàm số

cần giúp đỡ thanks.

trong mặt phẳng với hệ tọa độ oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có AD=2AB. điểm H(\frac{31}{5};\frac{17}{5}) là điểm đối xứng của điểm B qua dường chéo AC. tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. biết pt CD:x-y-10=0 và c có tung độ âm

Mặt phẳng

cần giúp đỡ thanks.

trong mặt phẳng với hệ tọa độ oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có AD=2AB. điểm$ H(\frac{31}{5};\frac{17}{5}) $là điểm đối xứng của điểm B qua dường chéo AC. tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. biết pt CD:x-y-10=0 và c có tung độ âm

Mặt phẳng

Start!!!hệ dễ...

$\begin{cases}x\sqrt{x^{2}+3x-y+1}+\sqrt{y^{2}+x+y+1}=x^{2}+x+y+2 \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}+2} +\sqrt{x^{3}+x-2}=1+\sqrt[3]{(y+1)^{3}-3x^{3}-4}\end{cases}$*) $(x;y)=(1;1)$

Hệ phương trình

Start!!!hệ dễ...

$\begin{cases}x\sqrt{x^{2}+3x-y+1}+\sqrt{y^{2}+x+y+1}=x^{2}+x+y+1 \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}+2} +\sqrt{x^{3}+x-2}=1+\sqrt[3]{(y+1)^{3}-3x^{3}-4}\end{cases}$*) $(x;y)=(1;1)$

Hệ phương trình

hình học phẳng hay,khó.ôn thi đh

trong mp oxy cho tứ giác abcd có 2 đường chéo vuông góc với nhau.gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,AD.đường thẳng qua M vuông góc với CD cắt đường thẳng qua N vuông góc với BC tại I.tìm tọa độ A.biết C(3;1),M(-1/2;3), I(7/2;0) và AD=5

Hình học phẳng

hình học phẳng hay,khó.ôn thi đh

trong mp oxy cho tứ giác $ABCD$ có 2 đường chéo vuông góc với nhau.gọi $M,N $lần lượt là trung điểm $AB,AD$.đường thẳng qua M vuông góc với CD cắt đường thẳng qua N vuông góc với BC tại I.tìm tọa độ A.biết $C(3;1),M(-1/2;3), I(7/2;0) và AD=5$

Hình học phẳng

Bất đẳng thức...

Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng:$\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\geq 1+\sqrt[3]{5+(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})}$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức...

Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng:$\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\geq 1+\sqrt[3]{5+ \sqrt{(\Sigma a^{3})(\Sigma \frac{1}{a^{3}}})}$

Bất đẳng thức

Hình bình hành hay trong oxy !!!!!!!

trong mặt phẳng oxy, hình binh hành abcd có AC = \sqrt{2}BD , hình chiếu của điểm A trên BC, CD lần lượt là H(-4; 1) và K(4; 1); đường BD: x - 3y + 9 =0. Tìm tọa độ các đỉnh, biết xB < 0

Hình giải tích trong mặt phẳng

Hình bình hành hay trong oxy !!!!!!!

trong mặt phẳng oxy, hình binh hành ABCD có $AC = \sqrt{2}BD$ , hình chiếu của điểm A trên BC, CD lần lượt là H(-4; 1) và K(4; 1); đường BD: x - 3y + 9 =0. Tìm tọa độ các đỉnh, biết xB < 0

Hình giải tích trong mặt phẳng

8.BĐT đã cho$\Leftrightarrow(\frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab})+(\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{1+ab})\geq0$$\Leftrightarrow \frac{a(b-a)}{(1+x^{2})(1+ab)}+\frac{b(a-b)}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq0$$\Leftrightarrow\frac{(b-a)^{2}(ab-1)}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)}\geq0$(*)(*)luôn đúng do $ab\geq1$$\Rightarrow$đpcmDấu''='' xra$\Leftrightarrow a=b$ hoặc $ab=1$

8.BĐT đã cho$\Leftrightarrow(\frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab})+(\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{1+ab})\geq0$$\Leftrightarrow \frac{a(b-a)}{(1+a^{2})(1+ab)}+\frac{b(a-b)}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq0$$\Leftrightarrow\frac{(b-a)^{2}(ab-1)}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)}\geq0$(*)(*)luôn đúng do $ab\geq1$$\Rightarrow$đpcmDấu''='' xra$\Leftrightarrow a=b$ hoặc $ab=1$