Điều kiện: $x\geq -2, x\neq 12$ (còn gì thiếu thì bổ sung hộ mình nha)
*) Nếu $x>12\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x-3}-3>0$ ( Trường hợp $x<12$ thì chứng minh tương tự nha bạn, chỉ cần thay $'\geq' thành '\leq '$)
BPT$\Leftrightarrow (\sqrt{x+4}+1)(\sqrt{x+4}-1)(\sqrt[3]{2x+3}-3)\sqrt{x+2}\geq x(x+1)(x+3)-2(x+3)\sqrt[3]{2x+3}$
$\Leftrightarrow (x+3)(\sqrt[3]{2x+3}-3)\sqrt{x+2}\geq x(x+1)(x+3)-2(x+3)\sqrt[3]{2x+3}$
$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x+3}-3)\sqrt{x+2}\geq x(x+1)-2\sqrt[3]{2x+3}$( vì x+3>0)
$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x+3}-3)(\sqrt{x+2}+2)\geq x^2+x-6=(x+3)(x-2)$ (*)
+) Nếu x=2 thì .....
+) Nếu $x>2$( x<2 thì chứng minh tương tự, chỉ cần đổi dấu) thì $\sqrt{x+2}-2>0$
Khi đó (*) có dạng: $(\sqrt[3]{2x+3}-3)(x-2)\geq (x+3)(x-2)(\sqrt{x+2}-2)$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+3}-3\geq (x+2)\sqrt{x+2}-2x-6$
Đặt $\sqrt[3]{2x+3}=a, \sqrt{x+2}=b$ thì sẽ trở thành:
$a^3+a\geq b^3+b\Leftrightarrow a\geq b\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+3}\geq \sqrt{x+2}$
Đến đây chắc bạn tự làm tiếp được rồi nhỉ ( mũ 6 lên), nhớ kèm theo cả điều kiện xác định nha, hihi
Có gì thắc mắc cứ bảo mình, đúng thì tích giùm mình nha hihi!!