BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2017

       ĐỀ THI CHÍNH THỨC

                             Môn Toán 

                         Thời gian : 180 phút

Ngày thi thứ nhất 05/01/2017

Bài 1 . (5,0 điểm)

Cho $a$ là số thực và xét dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi : 

$$u_1=a,u_{n+1}=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{2n+3}{n+1}{u}_n+\frac{1}{4}}\forall n\in N^{\ast }$$

a)Khi $a=5$ ,chứng minh dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b)Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy số $\left(u_n\right)$ xác định và có giới hạn hữu hạn

Bài 2 . (5,0 điểm)

Tồn tại hay không đa thức $P\left(x\right)$ với hệ số nguyên thỏa mãn : 

$$\{\begin{array}{ccc}P(1+\sqrt[3]{32})=1+\sqrt[3]{32}& & \\ P(1+\sqrt{5})=2+3\sqrt{5}& & \end{array}$$

Bài 3 . (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn ,không cân nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$ .Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $B,C$ ; $AH$ cắt $\left(O\right)$ tại $D$ ($D$ khác $A$)

a)Gọi $I$ là trung điểm của $AH$ ; $EI$ cắt $BD$ tại $M$ và $FI$ cắt $CD$ tại $N$ . Chứng minh rằng: $MN\perp OH$

b)Các đường thẳng $DE,DF$ cắt $\left(O\right)$ lần lượt tại $P,Q$ ($P$ và $Q$ khác $D$ ) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$cắt $\left(O\right)$ và $AO$ lần lượt tại $R$ và $S$ ($R,S$ khác $A$ ).Chứng minh rằng : $BP,CQ$ và $RS$ đồng quy

Bài 4 .  (5,0 điểm)

Cho số nguyên $n>1$ . Bảng vuông $ABCD$ kích thước $n\times n$ gồm $n^2$ ô vuông đơn vị , mỗi ô vuông đơn vị được tô bởi ba màu : đen,trắng,xám . Một cách tô màu được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo $AC$ được tô màu xám và mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được tô màu đen hoặc cùng màu trắng . Người ta điền vào mỗi ô xám số $0$ , mỗi ô trắng một số nguyên dương và mỗi ô đen một số nguyên âm . Một cách điền số như vậy được gọi là $k-$ cân đối (với $k$ là số nguyên dương) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

    (i) Mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được điền cùng một số nguyên thuộc đoạn $\left[-k;k\right]$

    (ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được điền trên hàng đó và tập số nguyên dương được điền 

         trên cột đó không giao nhau;nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền trên hàng đó và tập các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau

a)Với $n=5$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để tồn tại cách điền hình số $k-$ cân đối cho cách tô màu như hình bên dưới

b)Với $n=2017$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để với mọi cách tô màu đối xứng , luôn tồn tại cách điền $k$ cân đối

 Ngày thi thứ hai 06/01/2017

Bài 5 . (6,0 điểm).

Tìm tất cả các hàm số : $f:R\to R$ thỏa mãn hệ thức:

$$f\left(xf\left(y\right)-f\left(x\right)\right)=2f\left(x\right)+xy$$

với mọi số thực $x,y$

Bài 6 . (7,0 điểm) 

Chứng minh rằng:

a)$\sum _{k=1}^{1008}k{C}_{2017}^k\equiv 0$ (mod ${2017}^2$ )

b)$\sum _{k=1}^{504}{\left(-1\right)}^k{C}_{2017}^k\equiv 3\left(2^{2016}-1\right)$ (mod ${2017}^2$ )

Bài 7 . (7,0 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$  và $G$ là một điểm thuộc cung $BC$ không chứa $O$  của đường tròn $\left(I\right)$ ngoại tiếp tam giác $OBC$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG$ cắt $AC$ tại $E$ , đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACG$ cắt $AB$ tại $F$ ( $E$ và $F$ khác $A$ )

a)Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CF$ . Chứng minh $AK,BC$ và $OG$ đồng quy

b)Cho $D$ là một điểm thuộc cung $\stackrel{}{BOC}$ chứa $O$ của đường tròn $\left(I\right)$ ; $GB$ cắt $CD$ tại $M$ . $GC$ cắt $BD$ tại $N$ . Giả sử $MN$ cắt $\left(O\right)$ tại hai điểm $P,Q$ .Chứng minh rằng: khi $G$ thay đổi trên cung BC không chứa $O$ của đường tròn $\left(I\right)$ , đường tròn ngoại tiếp $GPQ$ luôn đi qua hai điểm cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 06-01-2017 - 11:51