Đặt \(x = {2^a},y = {2^b},z = {2^c}\) thì $x, y, z >0$ và điều kiện $a + b+ c = 0$ \( \Leftrightarrow xyz = 1\). Theo bất đẳng thức Cosi  \(x + y + z \ge 3\)
Mặt khác \({x^3} + 1 + 1 \ge 3x \Rightarrow {x^3} \ge 3x - 2\)
Tương tự  \({y^3} \ge 3y - 2,{z^3} \ge 3z - 2\)
\(\Rightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3\left( {x + y + z} \right) - 6\) \( = \left( {x + y + z} \right) + 2\left( {x + y + z - 3} \right) \ge \left( {x + y + z} \right)\)
\( \Rightarrow {8^a} + {8^b} + {8^c} \ge {2^a} + {2^b} + {2^c}\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 0\)

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

a) Xét $x+y+z=0 \Rightarrow y+z=-x \Rightarrow \dfrac{x}{y+z}=-1$. Tương tự thêm hai đẳng thức nữa ta suy ra $A=-3.$ Đây là điều vô lý với giả thiết, vậy $x+y+z \ne 0.$
Ta có
$A(x+y+z)=\left (\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y} \right )(x+y+z)$
$A(x+y+z)=\dfrac{x}{y+z}(x+y+z)+\dfrac{y}{z+x}(x+y+z)+\dfrac{z}{x+y}(x+y+z)$
$A(x+y+z)= \dfrac{x^{2}}{y+z}+x+\dfrac{y^{2}}{z+x}+y+\dfrac{z^{2}}{x+y}+z$
$A(x+y+z)= B+(x+y+z)$
$\implies (A-1)(x+y+z)=B$
Điều này chứng tỏ nếu $A=1$ thì $B=0.$

Em xem ví dụ 5 tại đây

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113547/cac-phuong-phap-giai-he-phuong-trinh-khong-mau-muc

b) Bạn them khảo phần c) tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/106578/bai-106577

a) Bài sau đây rất tương tự. Bạn thử làm theo nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/112370/bai-112361

a) Cố gắng phân tích đa thức thành nhân tử PT thứ hai ta được
$y^{2} -5x^{2} -4xy+16x -8y +16=0\Leftrightarrow (x+y-4)(-5x+y-4)=0$
+ Nếu $x+y=4\Rightarrow y=4-x$ thì từ PT thứ nhất
$\Leftrightarrow y^2=(5x+4)y\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} y=0\Rightarrow x=4\\y=5x+4\Rightarrow \begin{cases}x=0 \\ y=4 \end{cases}  \end{matrix}} \right.$
+ Nếu $-5x+y-4=0\Rightarrow 5x+4=y$ thì từ PT thứ nhất
$\Leftrightarrow y^2=y(4-x)\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} y=0\Rightarrow x=-4/5\\y=4-x\Rightarrow \begin{cases}x=0 \\ y=4 \end{cases}  \end{matrix}} \right.$
 Vậy $(x,y)=(0,4),(4,0),(-4/5,0).$

a) Nhận thấy từ Pt thứ nhất $x \ne 0 \Rightarrow xy=2-x^2 \Rightarrow y = \dfrac{2-x^2}{x}$.
Đem thay vào Pt thứ hai ta được
      $ (\dfrac{2-x^2}{x})^{3} +2x(\dfrac{2-x^2}{x})^{2} -2\dfrac{2-x^2}{x} =x $
Quy đồng, rút gọn và phân tích thành nhân tử ta được
$\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(x^4-8)=0$
Vậy $(x,y) = (\pm 1, \pm 1), \left ( \pm \dfrac{2}{\sqrt 3},\pm \dfrac{1}{\sqrt 3} \right )$.

Đặt $a= |x+y|, b = |x-y|, a,b\ge 0.$ Ta thấy $a^2+b^2=2(x^2+y^2)$.
HPT
$\Leftrightarrow \begin{cases}a+b+ab= 5\\ a^2+b^2=5 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}ab= 5-(a+b)\\ (a+b)^2-2ab=5 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}ab= 5-(a+b)\\ (a+b)^2+2(a+b)-15=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}  \begin{cases}ab= -5\\ a+b=10 \end{cases} \quad \text{vô lý vì}  ab \ge 0\\ \begin{cases}ab=2\\ a+b=3 \end{cases} \end{matrix}} \right.$
 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}  \begin{cases}a=2\\ b=1 \end{cases} \\ \begin{cases}a=1\\ b=2 \end{cases} \end{matrix}} \right.$
 Thay trở lại và ta tìm được khá nhiều nghiệm $(x,y)=$
$\left ( \pm\dfrac{1}{2}, \pm\dfrac{3}{2}  \right ),\left ( \pm\dfrac{3}{2}, \pm\dfrac{1}{2}  \right ),\left ( \mp\dfrac{1}{2}, \pm\dfrac{3}{2}  \right ),\left ( \mp\dfrac{3}{2}, \pm\dfrac{1}{2}  \right ).$

b) HPT $\Leftrightarrow \begin{cases}(x-1)(y-1)(x+y-2)=6\\(x-1)^2+(y-1)^2=1\end{cases}  $
$\underbrace{\Leftrightarrow}_{\begin{matrix} a=x-1\\
b=y-1 \end{matrix}}\begin{cases}ab(a+b)=6\\a^2+b^2=5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}ab=\frac{6}{a+b}\\(a+b)^2-2ab=5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}ab=\frac{6}{a+b}\\(a+b)^2-\frac{12}{a+b}=5\end{cases}$
 $\Leftrightarrow \begin{cases}ab=\frac{6}{a+b}\\(a+b)^3-5(a+b)-12=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}ab=2 \\ a+b= 3\end{cases}\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} \begin{cases}a=2 \\ b= 1\end{cases}\\  \begin{cases}a=1 \\ b= 2\end{cases} \end{matrix}} \right.$
 Vậy $\boxed{(x, y) \in \left\{ {(2;3), (3;2)} \right\}}$.

b) Em xem ví dụ 4 tại đây

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113547/cac-phuong-phap-giai-he-phuong-trinh-khong-mau-muc

b) Em xem ví dụ 2 tại đây

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113547/cac-phuong-phap-giai-he-phuong-trinh-khong-mau-muc

a)
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/103205/bai-103205

b, Nếu đề đúng là như này. Ta làm như sau :
$B=\mathop {\lim }(2n-\sqrt[3]{8n^2+3n})$
 $B=\mathop {\lim }\dfrac{8n^3-8n^2-3n}{4n^2+2n\sqrt[3]{8n^2+3n}+\sqrt[3]{(8n^2+3n)^2}}$
 $B=\mathop {\lim }\dfrac{8n-8-\dfrac{3}{n}}{4+3\sqrt[3]{\dfrac{8}{n}+\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt[3]{(\dfrac{8}{n}+\dfrac{3}{n^2})^2}}$
$B=\dfrac{+\infty}{4}=+\infty$.

a,
$A=\mathop {\lim } (\sqrt{n^2-2n}-n)$
 $A=\mathop {\lim }\dfrac{n^2-2n-n^2}{\sqrt{n^2-2n}+n}$
 $A=\mathop {\lim }\dfrac{-2n}{\sqrt{n^2-2n}+n}$
 $A=\mathop {\lim }\dfrac{-2}{\sqrt{1-\dfrac{2}{n}}+1}$
$A=\dfrac{-2}{1+1}=-1$