b,
$B=\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }(3x+\sqrt[3]{x^2-27x^3})$
 $B=\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\dfrac{27x^3+x^2-27x^3}{9x^2-3x\sqrt[3]{x^2-27x^3}+\sqrt[3]{(x^2-27x^3)^2}}$
 $B=\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\dfrac{x^2}{9x^2-3x\sqrt[3]{x^2-27x^3}+\sqrt[3]{(x^2-27x^3)^2}}$
 $B=\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }\dfrac{1}{9-3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}-27}+\sqrt[3]{(\dfrac{1}{x}-27)^2}}$, do $x>0.$
$B=\dfrac{1}{9+9+9}=\dfrac{1}{27}$.

a,
$A=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }(\sqrt{9x^2-4x}+3x+1)$
 $A=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\dfrac{9x^2-4x-(3x+1)^2}{\sqrt{9x^2-4x}-3x-1}$
 $A=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\dfrac{-10x-1}{\sqrt{9x^2-4x}-3x-1}$
 $A=\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty }\dfrac{-10-\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{9-\dfrac{4}{x}}-3-\dfrac{1}{x}}$, do $x<0.$
$A=\dfrac{-10}{-3-3}=\dfrac{5}{3}$

Bài này nhìn lạ nhưng cách làm vẫn rất cơ bản
      $\sin (\pi \cos x)=1=\sin \dfrac{\pi}{2}$
$\Leftrightarrow \pi \cos x= \dfrac{\pi}{2}+k2\pi, \quad k \in \mathbb Z.$
$\Leftrightarrow \cos x= \dfrac{1}{2}+2k, \quad k \in \mathbb Z.$
Chú ý rằng $-1 \le \cos x \le 1, \quad \forall x$ nên ta phải có
$\begin{cases}k \in \mathbb Z \\ -1 \le  \dfrac{1}{2}+2k \le 1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}k \in \mathbb Z \\ -\dfrac{3}{4} \le k \le \dfrac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow k=0.$
Ta phải có
$ \cos x= \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi}{3}+m2\pi, \quad m \in \mathbb Z.$

b) Theo trên để hệ có hai nghiệm thì $(\triangle )$ phải cắt $(C)$, tức là cần $d < R.$
$\Leftrightarrow\dfrac{\left| {a-1/2} \right|}{\sqrt{1+a^2}} < 1/2\Leftrightarrow \sqrt{1+a^2}<|2a-1|$
$\Leftrightarrow a^2+1 >4a^2-4a+1\Leftrightarrow a(3a-4)< 0\Leftrightarrow 3/4 > a > 0$ .

PT thứ hai là PT đường tròn $(C)$ tâm $I(1/2,0)$ bán kính $R=1/2.$
PT thứ nhất là PT đường thẳng $(\triangle )$ theo tham số $a$, và khoảng cách từ $I$ tới $(\triangle )$ bằng
d$(I,(a))=\dfrac{\left| {1/2+a.0-a} \right|}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{\left| {a-1/2} \right|}{\sqrt{1+a^2}} .$

a)Như vậy để hệ có nghiệm thì $(\triangle )$ cắt hoặc tiếp xúc $(C)$, tức là cần $d \le R.$
$\Leftrightarrow\dfrac{\left| {a-1/2} \right|}{\sqrt{1+a^2}} \le 1/2\Leftrightarrow \sqrt{1+a^2} \ge |2a-1|$
$\Leftrightarrow a^2+1 \ge 4a^2-4a+1\Leftrightarrow a(3a-4) \le 0\Leftrightarrow 3/4 \ge a \ge 0$ .

PT thứ hai là PT đường tròn $(C)$ tâm $I(0,0)$ bán kính $R=2.$
PT thứ nhất là PT đường thẳng $(a)$ theo tham số $m$, và khoảng cách từ $I$ tới $(a)$ bằng
d$(I,(a))=\dfrac{\left| {m.0+(m+1).0-2} \right|}{\sqrt{(m+1)^2+m^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{(m+1)^2+m^2}} .$
Như vậy để hệ có nghiệm thì $(a)$ cắt hoặc tiếp xúc $(C)$, tức là cần $d \le R.$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{(m+1)^2+m^2}} \le 2\Leftrightarrow \sqrt{(m+1)^2+m^2} \ge 1$
$\Leftrightarrow 2m^2+2m+1 \ge 1\Leftrightarrow m(m+1) \ge 0\Leftrightarrow m \ge 0$ hoặc $m \le -1.$

a) HPT
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7(2 x^{2}-4xy +y^{2} )=-7\\ 3 x^{2}+2xy +2y^{2} =7\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7(2 x^{2}-4xy +y^{2} )+3 x^{2}+2xy +2y^{2}=0\\ 3 x^{2}+2xy +2y^{2} =7\end{array} \right.$
 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 17x^{2}-26xy +9y^{2}=0\\ 3 x^{2}+2xy +2y^{2} =7\end{array} \right.$
  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (17x-9y)(x-y)=0\\ 3 x^{2}+2xy +2y^{2} =7\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases} x=y\\ 3 x^{2}+2xy +2y^{2} =7 \end{cases}\\\\  \begin{cases}17x=9y\\ 3 x^{2}+2xy +2y^{2} =7 \end{cases}\end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=y=\pm1\\\\  \begin{cases}x= \pm \dfrac{9}{\sqrt{161}}\\ y= \pm \dfrac{17}{\sqrt{161}} \end{cases}\end{matrix}} \right.$

b)

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/103155/bai-103155

a)
Từ HPT đã cho suy ra
$4(x^2 - 4xy + y^2)= y^2 - 3xy\Leftrightarrow 4x^2-13xy+3y^2=0\Leftrightarrow (x-3y)(4x-y)=0$
Với $x=3y$ thay vào PT ban đầu thứ nhất ta được
$y^2-9y^2=4\Leftrightarrow -8y^2=4$, PT này vô nghiệm.
Với $y=4x$ thay vào PT ban đầu thứ nhất ta được
$16x^2-12x^2=4\Leftrightarrow 4x^2=4\Leftrightarrow x=\pm 1$.
Vậy hệ có nghiệm $(x, y) \in \left\{ {(1,4); (-1,-4)} \right\}$

b)

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/105234/bai-105234

b. Đặt \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 2} \), khi đó \(f\left( x \right) \ge \sqrt 3 ,\forall x \ge 2\) và \(f\left( 2 \right) = \sqrt 3 \)
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 2} }} > 0,\forall x \ge 2 \Rightarrow f\left( x \right)\) tăng trên \(\left[ {2; + \infty } \right]\)
Do đó phương trình \(\sqrt m  = f\left( x \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \sqrt m  \ge f\left( 2 \right) = \sqrt 3  \Leftrightarrow m \ge 3\)

a. Điều kiện \(x \ge 2;y \ge 2\)
Khi đó hệ tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {y - 2} \right)}  = m\left( 1 \right)\\
x + y - 1 + 2\sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}  = m\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Trừ $(1)$ cho $(2)$, vế với vế ta được: \(\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {y - 2} \right)}  = \sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}  \Leftrightarrow x = y\)
Khi đó hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 2}  = \sqrt m \left( 3 \right)
\end{array} \right.\)

Khi $m = 9$ thì $(3)$ có nghiệm $x = 3$ \( \Rightarrow y = 3\)
Vậy khi $m = 9$ thì hệ có nghiệm $(3, 3)$

a)

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/104197/bai-104197

Bài này là trường hợp riêng của bài toán tổng quát sau

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/105271/bai-105271

b) Em xem ở đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/103012/bai-103012