Bài này đã được giải chi tiết tại đây em nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/110217/bai-110217

Bài này có cách làm rất giống ở đây. Em thử làm xem sao nhé :)

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/107190/bai-107190

2) Chú ý rằng $x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$, nên ta cần điều kiện $x \ge 5$ hoặc $x \le -2.$
hiển nhiên khi $x \le -2$ thì vế phải luôn nhỏ hơn $0$, và vì thế BPT luôn đúng. Như vậy ta chỉ cần xét $x \ge 5$.
 Như vậy BPT
$\iff x^2-3x-10 \ge (x-2)^2$
$\iff x^2-3x-10 \ge x^2-4x+4$
 $\iff x \ge 14$
 Vậy đáp số là $x \ge 14$ hoặc $x \le -2.$

Điều kiện $x \ge 1.$ Dễ thấy rằng $\sqrt{x} -\sqrt{x-1}>0 \quad \forall x$
BPT
$\Leftrightarrow m \ge f(x) = \dfrac{x^{3} +3x^{2} -1}{(\sqrt{x} -\sqrt{x-1})^{3}}$
Ta có $f'(x)=\dfrac{6\sqrt{x-1}\sqrt{x^5}+12\sqrt{x-1}\sqrt{x^3}+3x^3+3x^2+9x^2-3}{2(\sqrt{x} -\sqrt{x-1})^{3}\sqrt{x} .\sqrt{x-1}}$
Với điều kiện $x \ge 1$ thì hiển nhiên có $f'(x)>0 \quad \forall x$, như vậy $F$ là hàm đồng biến nên $f(x) \ge f(1)=3$.
Như vậy để BPT có nghiệm thì $m \ge \min f(x)=f(1)=3.$

Viết lại PT đường tròn $(x-1)^2+(y+2)^2=1$ đi qua ba trung điểm $A',B',C'$ có tâm $O'(1,-2)$, bán kính $R'=1.$
Dễ thấy rằng $\overrightarrow{GA'}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB'}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GB},\overrightarrow{GC'}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GC}$
Suy ra $ \triangle A'B'C'$ là ảnh của $ \triangle ABC$ qua phép vị tự tâm $G$ tỉ số $-\dfrac{1}{2}.$
nên nếu gọi $R$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp $ \triangle ABC$ thì $\dfrac{R'}{R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow R=2.$
 và nếu gọi $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $ \triangle ABC$ thì $\overrightarrow{GO'}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GO}$
 do đó $\begin{cases}1-1=-\dfrac{1}{2}\left (x_{O}-1 \right ) \\ -2-2=-\dfrac{1}{2}\left (y_{O}-2 \right ) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x_O=1 \\ y_O=10 \end{cases}$
Vậy đường tròn ngoại tiếp $ \triangle ABC$
 $$(x-1)^2+(y-10)^2=4$$

BPT
$\iff 5x-4+\sqrt{x^{2}+24}-\sqrt{x^{2}+35}>0$
$\iff (5x-5)+(\sqrt{x^{2}+24}-5)-(\sqrt{x^{2}+35}-6)>0$
$\iff 5(x-1)+\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x^{2}+24}+5}-\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x^{2}+35}+6}>0$
$\iff (x-1)\left (5+\dfrac{x+1}{\sqrt{x^{2}+24}+5}+\dfrac{-x-1}{\sqrt{x^{2}+35}+6} \right )>0$
$\iff (x-1)\underbrace{\left (3+\dfrac{\sqrt{x^{2}+24}+x+6}{\sqrt{x^{2}+24}+5}+\dfrac{\sqrt{x^{2}+35}-x+5}{\sqrt{x^{2}+35}+6} \right )}_{A}>0$
Chú ý rằng
$\sqrt{x^{2}+24}+x+6>\sqrt{x^{2}}+x=|x|+x\ge 0 $
$\sqrt{x^{2}+35}-x+5>\sqrt{x^{2}}-x=|x|-x\ge 0 $
 Như vậy $A>0 \iff \boxed{x>1.}$

$\textbf{Bài toán 2}$ Giải PT
$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^2+8$
Cách giải chi tiết bạn có thể xem Ví dụ 5 tại đây. Và còn thêm rất nhiều bài toán độc đáo ở dạng này nữa.

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113281/giai-phuong-trinh-vo-ty-bang-phuong-phap-su-dung-bieu-thuc-lien-hop


Tóm lại nghiệm của hệ là $(x,y)=(-1,1),(2,-2)$

Bài toán này thực sự rất hay. Nó là sự kết hợp của hai bài toán đặc sắc khác.
$\textbf{Bài toán 1}$
$(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{y^2+1}+y)=1 \implies x=-y$
 Thật vậy,
$(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{y^2+1}+y)=1\Rightarrow \sqrt{x^2+1}+x=\dfrac{1}{\sqrt{y^2+1}+y}=\sqrt{y^2+1}-y$
$\Rightarrow \sqrt{x^2+1}- \sqrt{y^2+1}+x+y=0$
$\Rightarrow\dfrac{x^2-y^2}{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{y^2+1}} +x+y=0$
 $\Rightarrow (x+y)\left (\dfrac{x-y}{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{y^2+1}} +1 \right )=0$
 $\Rightarrow (x+y)\left (x-y+ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{y^2+1}\right )=0$
 Do $\sqrt{x^2+1} >\sqrt{x^2} =|x| \ge x,\sqrt{y^2+1} >\sqrt{y^2} =|y| \ge -y$
 suy ra $x-y+ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{y^2+1}>0$, do vậy $x+y=0 \implies x=-y$
Thay điều này vào PT thứ hai của hệ và ta có bài toán 2 như sau.

Bạn có thể xem thêm cách khác tại đây

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115386/dung-bdt-am-gm-trong-chung-minh-bdt-2

2) Điều kiện $-\sqrt 3 \le x \le \sqrt 3$
BPT
$\Leftrightarrow (\sqrt{1-x+x^2}+\sqrt{3-x^2})^2 \leq 8-2x$
$\Leftrightarrow 4-x+2\sqrt{1-x+x^2}.\sqrt{3-x^2} \leq 8-2x$
 $\Leftrightarrow 2\sqrt{1-x+x^2}.\sqrt{3-x^2} \leq 4-x$
 Nhưng điều này là hiển nhiên đúng theo BĐT Cô-si
$2\sqrt{1-x+x^2}.\sqrt{3-x^2}\le 1-x+x^2+3-x^2 = 4-x$
Vậy $-\sqrt 3 \le x \le \sqrt 3$.

1) Điều kiện $x \ge -1 $ hoặc $x \le -2$.
BPT
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2 +3x +2} <1+ \sqrt{x^2+x+1} $
$\Leftrightarrow x^2 +3x +2 <(1+ \sqrt{x^2+x+1} )^2$
 $\Leftrightarrow x^2 +3x +2 <x^2 +x +2+2\sqrt{x^2+x+1} $
 $\Leftrightarrow x <\sqrt{x^2+x+1} $
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x \le 0\\ \begin{cases}x > 0  \\ x^2 <x^2+x+1 \end{cases} \end{matrix}} \right.$
Kết hợp với điều kiện ta suy ra $x \ge -1 $ hoặc $x \le -2$.

Bài này cũng được thảo luận ở đây rồi

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115746/giai-nhanh-giup-m-trong-ngay-hnay-nha/15825#15825

1)
PT
$\Leftrightarrow x^3+b^3+ax^2+abx=0$
$\Leftrightarrow (x+b)(x^2-bx+b^2+ax)=0$
 như vậy pt có một nghiệm là $x_1=-b$ và hai nghiệm $x_2,x_3$ còn lại là nghiệm của PT $x^2-bx+b^2+ax=0$, theo Vi-et ta có $x_2x_3=b^2.$
Suy ra $x_2x_3=x_1^2\implies$ đpcm.

Dù máy tính bỏ túi có được nâng cấp đến mức nào thì cũng không thể hoàn toàn thay thế trí tuệ của con người được :)
Trong bài này ta nên sử dụng mẹo nhỏ như sau để bài toán trở nên đơn giản
Chú ý rằng với mọi số $k$ ta có đẳng thức sau
$k^4+ \dfrac{1}{4}=k^4+k^2+ \dfrac{1}{4}-k^2=\left (k^2+ \dfrac{1}{2} \right )^2-k^2=\left (k^2+k+ \dfrac{1}{2} \right )\left (k^2-k+ \dfrac{1}{2} \right )$
Suy ra
$(k+1)^4+ \dfrac{1}{4}=\left ((k+1)^2+(k+1)+ \dfrac{1}{2} \right )\left ((k+1)^2-(k+1)+ \dfrac{1}{2} \right )=\left ((k+1)^2+(k+1)+ \dfrac{1}{2} \right )\left (k^2+k+\dfrac{1}{2} \right )$
Từ đó
$\dfrac{k^4+ \dfrac{1}{4}}{(k+1)^4+ \dfrac{1}{4}}=\dfrac{k^2-k+ \dfrac{1}{2} }{(k+1)^2+(k+1)+ \dfrac{1}{2}} \quad \forall k.$
Áp dụng ta có
$\dfrac{1^4+ \dfrac{1}{4}}{2^4+ \dfrac{1}{4}}=\dfrac{1^2-1+ \dfrac{1}{2} }{2^2+2+ \dfrac{1}{2}}$
$\dfrac{3^4+ \dfrac{1}{4}}{4^4+ \dfrac{1}{4}}=\dfrac{3^2-3+ \dfrac{1}{2} }{4^2+4+ \dfrac{1}{2}}$
$\ldots$
$\dfrac{29^4+ \dfrac{1}{4}}{30^4+ \dfrac{1}{4}}=\dfrac{29^2-29+ \dfrac{1}{2} }{30^2+30+ \dfrac{1}{2}}$
Nhân theo từng vế các đẳng thức trên
$P=\dfrac{1^2-1+ \dfrac{1}{2} }{\boxed{2^2+2+ \dfrac{1}{2}}}.\dfrac{\boxed{3^2-3+ \dfrac{1}{2}} }{4^2+4+ \dfrac{1}{2}}\ldots\dfrac{ }{\boxed{28^2+28+ \dfrac{1}{2} }}.\dfrac{\boxed{29^2-29+ \dfrac{1}{2}} }{30^2+30+ \dfrac{1}{2}}$
Chú ý rằng các hạng tử trong đóng khung sẽ triệt tiêu hết cho nhau, theo dạng chéo do đẳng thức
$(k+1)^2-(k+1)+ \dfrac{1}{2}=k^2+k+ \dfrac{1}{2}$
Như vậy
$P=\dfrac{1^2-1+ \dfrac{1}{2} }{30^2+30+ \dfrac{1}{2}}$
Và đến đây thì rất đơn giản để sử dụng máy tính ;)

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết